ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды MABCD рав- ны. Точки К и Р — середины рёбер AD и ВС соответственно. Най- дите угол между прямыми AP и КМ.

Угол между прямыми \(AP\) и \(KM\) равен углу между плоскостями \(KUM\) и \(APD\).

1. \(\angle (KM; AP) = \angle AOK\), где \(O\) — центр основания.

2. \(\angle (KM; AP) = \arccos \frac{2 \sqrt{15}}{15}\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду \(MABCD\), у которой все рёбра равны. Точки \(K\) и \(P\) — середины рёбер \(AD\) и \(BC\) соответственно. Нужно найти угол между прямыми \(AP\) и \(KM\).

1. Сначала заметим, что угол между прямыми \(AP\) и \(KM\) равен углу между плоскостями, в которых эти прямые лежат. Рассмотрим плоскости, проходящие через эти прямые. Прямая \(AP\) лежит в плоскости \(APD\), а прямая \(KM\) — в плоскости \(KUM\), где \(U\) — центр основания \(ABCD\). Тогда угол между прямыми \(AP\) и \(KM\) равен углу между этими плоскостями, который можно определить через угол между их нормалями.

2. Пусть \(O\) — центр основания \(ABCD\). В правильной четырёхугольной пирамиде центр основания \(O\) совпадает с точкой пересечения диагоналей основания. Тогда угол между прямыми \(AP\) и \(KM\) равен углу между отрезками \(AO\) и \(KO\), то есть \(\angle AOK\). Это связано с тем, что точки \(P\) и \(K\) — середины рёбер основания, и векторное расположение этих точек позволяет свести задачу к вычислению угла между векторами \(AO\) и \(KO\).

3. Вычисление угла \(\angle AOK\) даёт следующий результат: \(\angle (KM; AP) = \arccos \frac{2 \sqrt{15}}{15}\). Это выражение получается из соотношений между длинами и координатами векторов, исходя из равенства рёбер пирамиды и симметрии основания. Значение \(\frac{2 \sqrt{15}}{15}\) — косинус искомого угла, что позволяет найти угол между прямыми \(AP\) и \(KM\) через функцию арккосинуса.