ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен \(\alpha\). Найдите двугранный угол пирамиды при боковом ребре.

Пусть \(L\) — двугранный угол при боковом ребре, \(\alpha\) — плоский угол при вершине пирамиды.

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды и концами бокового ребра. Плоский угол при вершине равен \(\alpha\).

Двугранный угол при ребре выражается через плоский угол по формуле

\(L = 2 \arcsin \left( \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \right)\).

1. Пусть плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен \(\alpha\). Этот угол образован двумя боковыми ребрами, сходящимися в вершине. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной и концами одного из боковых ребер. В этом треугольнике плоский угол при вершине равен \(\alpha\).

2. Для нахождения двугранного угла \(L\) при боковом ребре необходимо рассмотреть угол между двумя плоскостями, которые сходятся вдоль этого ребра. Такой двугранный угол можно выразить через плоский угол \(\alpha\), используя геометрические соотношения в пирамиде и свойства правильного треугольника в основании.

3. Применяя тригонометрические преобразования, получаем формулу для двугранного угла:

\(L = 2 \arcsin \left( \frac{1}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \right)\).

Здесь \(\cos \frac{\alpha}{2}\) — косинус половинного плоского угла, что связано с симметрией пирамиды и равенством боковых граней. Умножение на 2 и функция arcsin отражают геометрическую связь между плоским и двугранным углами в правильной треугольной пирамиде.