ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно \(b\) и образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, проходящего через большую диагональ основания.

Боковое ребро пирамиды \(b\) образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Проекция бокового ребра на основание равна \(b \cos \beta\), это длина стороны шестиугольника \(a\).

Большая диагональ основания \(AD = 2a = 2b \cos \beta\).

Высота пирамиды \(SO = b \sin \beta\).

Площадь диагонального сечения, проходящего через \(AD\) и вершину \(S\), равна площади треугольника \(SAD\):

\(S_{SAD} = \frac{1}{2} \times AD \times SO = \frac{1}{2} \times 2b \cos \beta \times b \sin \beta = b^2 \cos \beta \sin \beta\

1. Пусть \(b\) — боковое ребро пирамиды, которое образует с плоскостью основания угол \(\beta\).

2. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна \(b \cos \beta\). Эта проекция совпадает с длиной стороны правильного шестиугольника основания, обозначим её \(a = b \cos \beta\).

3. Большая диагональ правильного шестиугольника равна \(AD = 2a = 2b \cos \beta\).

4. Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины \(S\) на плоскость основания. Она равна \(SO = b \sin \beta\).

5. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину \(S\) и большую диагональ основания \(AD\). Это треугольник \(SAD\).

6. Основание треугольника \(SAD\) — отрезок \(AD\) длиной \(2b \cos \beta\).

7. Высота треугольника \(SAD\), опущенная из вершины \(S\) на основание \(AD\), равна высоте пирамиды \(SO = b \sin \beta\), так как \(SO\) перпендикулярен плоскости основания.

8. Площадь треугольника \(SAD\) вычисляется по формуле \(S_{SAD} = \frac{1}{2} \times AD \times SO\).

9. Подставим значения: \(S_{SAD} = \frac{1}{2} \times 2b \cos \beta \times b \sin \beta\).

10. Итоговый результат: \(S_{SAD} = b^{2} \cos \beta \sin \beta\).