ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при боковом ребре равен \(\alpha\). Найдите плоский угол при вершине пира- миды.

Площадь треугольника \(SBK\) вычисляется по формуле \( \frac{1}{2} BK \cdot KD \sin \alpha \). Из условия площадь равна \( \frac{1}{2} \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Для нахождения угла \(\angle DSC\) используется формула \( \angle DSC = 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \). Здесь берётся половина угла \(\alpha\), вычисляется синус этой половины, затем происходит деление \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) на этот синус.

Удвоение результата функции арккосинуса даёт искомый угол \(\angle DSC\), связанный с углом \(\alpha\) через тригонометрические соотношения в треугольнике.

Рассмотрим подробнее, как была получена формула для угла \(\angle DSC\) и что стоит за каждым из её элементов. В условии дана площадь треугольника \(SBK\), которая выражается через длины отрезков и синус угла. Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними выглядит так: \( \frac{1}{2} \times BK \times KD \times \sin \alpha \). В данном случае площадь равна \( \frac{1}{2} \sin 60^\circ \), а так как \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то площадь равна \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Далее, угол \(\angle DSC\) выражается через арккосинус, что связано с применением теоремы косинусов или соотношений в треугольнике, где используются половинные углы. Формула \( \angle DSC = 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \) указывает, что сначала берётся половина угла \(\alpha\), затем вычисляется синус этой половины, после чего происходит деление \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) на этот синус. Результат подставляется в функцию арккосинуса, а затем умножается на 2, что соответствует удвоению угла, вычисленного по половине.

Такое выражение может возникать при использовании формул, связанных с вписанными или описанными углами, либо при решении задач, где угол \(DSC\) связан с углом \(\alpha\) через тригонометрические преобразования. В частности, часто при решении геометрических задач с треугольниками и их площадями применяются формулы половин углов, а удвоение результата арккосинуса даёт искомый полный угол \(\angle DSC\), что и отражено в данной формуле.