ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до плоскости её боковой грани равно \(d\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность равна площади боковой поверхности пирамиды, которая вычисляется по формуле
\(S_{\text{бок. п.}} = \frac{S_{\text{осн.}}}{\cos \angle BHA}\).

Подставляем значения:
\(S_{\text{осн.}} = 6d^2 \sqrt{3}\),
\(\cos \angle BHA = \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\).

\(S_{\text{бок. п.}} = \frac{6 d^2 \sqrt{3}}{\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha}\).

1. Для нахождения площади боковой поверхности \( S_{\text{бок. п.}} \) пирамиды необходимо использовать отношение площади основания к косинусу угла между высотой и боковой гранью. В данном случае формула записывается как \( S_{\text{бок. п.}} = \frac{S_{\text{осн.}}}{\cos \angle BHA} \), где \( S_{\text{осн.}} \) — площадь основания, а \( \angle BHA \) — угол между высотой и боковой гранью пирамиды. Это связано с тем, что боковая поверхность — это сумма площадей треугольников, образованных боковыми ребрами и высотой.

2. Площадь основания \( S_{\text{осн.}} \) равна \( 6 d^{2} \sqrt{3} \). Это значение получается из геометрических соотношений фигуры, где \( d \) — длина ребра основания. Для вычисления угла \( \angle BHA \) используется тригонометрия: косинус этого угла выражается через синусы углов \( 2 \alpha \) и \( \alpha \) как \( \cos \angle BHA = \sin 2 \alpha \cdot \sin \alpha \). Такое выражение возникает из анализа треугольников в пирамиде и соотношений между углами.

3. Подставляя найденные значения в формулу для боковой поверхности, получаем окончательное выражение:
\( S_{\text{бок. п.}} = \frac{6 d^{2} \sqrt{3}}{\sin 2 \alpha \cdot \sin \alpha} \).
Это выражение позволяет вычислить площадь боковой поверхности пирамиды через известные параметры основания и углы при вершине. Таким образом, задача сводится к подстановке данных и вычислению по формуле.