ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние от центра основания правильной четырёхугольной пирамиды до плоскости боковой грани равно \(m\), а угол между высотой и плоскостью боковой грани равен \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть \(O\) — центр основания, \(H\) — высота пирамиды, \(m\) — расстояние от \(O\) до плоскости боковой грани, \(\beta\) — угол между высотой и боковой гранью.

Расстояние \(m\) равно проекции высоты \(H\) на плоскость боковой грани, значит \(m = H \sin \beta\), откуда \(H = \frac{m}{\sin \beta}\).

Пусть \(a\) — сторона основания, тогда расстояние от центра основания до боковой грани равно \(m = \frac{a}{2} \cos \beta\), откуда \(a = \frac{2m}{\cos \beta}\).

Высота боковой грани \(l\) связана с высотой пирамиды и углом \(\beta\) как \(l = \frac{H}{\cos \beta} = \frac{m}{\sin \beta \cos \beta}\).

Площадь боковой поверхности — сумма площадей 4 равных треугольников с основанием \(a\) и высотой \(l\):

\(S = 4 \cdot \frac{1}{2} a l = 2 a l = 2 \cdot \frac{2 m}{\cos \beta} \cdot \frac{m}{\sin \beta \cos \beta} = \frac{4 m^2}{\sin \beta \cos^2 \beta}\).

Используя формулу двойного угла \(\sin 2 \beta = 2 \sin \beta \cos \beta\), получаем

\(S = \frac{8 m^2}{\sin 2 \beta \cos \beta}\).

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с центром основания \(O\) и высотой \(H\). Дано расстояние от центра основания до плоскости боковой грани \(m\), а также угол \(\beta\) между высотой пирамиды и этой плоскостью. Поскольку высота \(H\) образует угол \(\beta\) с плоскостью боковой грани, проекция высоты на эту плоскость равна \(m\). По определению проекции имеем \(m = H \sin \beta\), откуда следует выражение для высоты: \(H = \frac{m}{\sin \beta}\).

2. Основание пирамиды — квадрат со стороной \(a\). Центр основания \(O\) находится на равном расстоянии от всех сторон. Расстояние от центра основания до любой боковой грани равно \(m\), и это расстояние связано с половиной стороны основания и углом \(\beta\). Рассмотрим перпендикуляр из центра основания на плоскость боковой грани: он образует с половиной стороны основания угол \(\beta\), значит \(m = \frac{a}{2} \cos \beta\), откуда \(a = \frac{2 m}{\cos \beta}\).

3. Теперь найдём высоту боковой грани \(l\). Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и высотой \(l\), проведённой из вершины пирамиды. Высота боковой грани связана с высотой пирамиды и углом \(\beta\) как \(l = \frac{H}{\cos \beta}\), поскольку высота пирамиды \(H\) образует угол \(\beta\) с плоскостью боковой грани. Подставляя \(H\), получаем \(l = \frac{m}{\sin \beta \cos \beta}\).

4. Площадь боковой поверхности — сумма площадей четырёх равных треугольников с основанием \(a\) и высотой \(l\). Площадь одного треугольника равна \(\frac{1}{2} a l\), значит вся площадь \(S = 4 \cdot \frac{1}{2} a l = 2 a l\). Подставляем выражения для \(a\) и \(l\):

\(S = 2 \cdot \frac{2 m}{\cos \beta} \cdot \frac{m}{\sin \beta \cos \beta} = \frac{4 m^2}{\sin \beta \cos^2 \beta}\).

5. Используем формулу для двойного угла: \(\sin 2 \beta = 2 \sin \beta \cos \beta\). Тогда

\(\sin \beta \cos^2 \beta = \frac{\sin 2 \beta \cos \beta}{2}\).

Подставляя в выражение для площади, получаем

\(S = \frac{4 m^2}{\sin \beta \cos^2 \beta} = \frac{8 m^2}{\sin 2 \beta \cos \beta}\).

Это и есть искомая площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с центром основания \(O\) и высотой \(H\). Дано расстояние от центра основания до плоскости боковой грани \(m\), а также угол \(\beta\) между высотой пирамиды и этой плоскостью. Поскольку высота \(H\) образует угол \(\beta\) с плоскостью боковой грани, проекция высоты на эту плоскость равна \(m\). По определению проекции имеем \(m = H \sin \beta\), откуда следует выражение для высоты: \(H = \frac{m}{\sin \beta}\).

2. Основание пирамиды — квадрат со стороной \(a\). Центр основания \(O\) находится на равном расстоянии от всех сторон. Расстояние от центра основания до любой боковой грани равно \(m\), и это расстояние связано с половиной стороны основания и углом \(\beta\). Рассмотрим перпендикуляр из центра основания на плоскость боковой грани: он образует с половиной стороны основания угол \(\beta\), значит \(m = \frac{a}{2} \cos \beta\), откуда \(a = \frac{2 m}{\cos \beta}\).

3. Теперь найдём высоту боковой грани \(l\). Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и высотой \(l\), проведённой из вершины пирамиды. Высота боковой грани связана с высотой пирамиды и углом \(\beta\) как \(l = \frac{H}{\cos \beta}\), поскольку высота пирамиды \(H\) образует угол \(\beta\) с плоскостью боковой грани. Подставляя \(H\), получаем \(l = \frac{m}{\sin \beta \cos \beta}\).

4. Площадь боковой поверхности — сумма площадей четырёх равных треугольников с основанием \(a\) и высотой \(l\). Площадь одного треугольника равна \(\frac{1}{2} a l\), значит вся площадь \(S = 4 \cdot \frac{1}{2} a l = 2 a l\). Подставляем выражения для \(a\) и \(l\):

\(S = 2 \cdot \frac{2 m}{\cos \beta} \cdot \frac{m}{\sin \beta \cos \beta} = \frac{4 m^2}{\sin \beta \cos^2 \beta}\).

5. Используем формулу для двойного угла: \(\sin 2 \beta = 2 \sin \beta \cos \beta\). Тогда

\(\sin \beta \cos^2 \beta = \frac{\sin 2 \beta \cos \beta}{2}\).

Подставляя в выражение для площади, получаем

\(S = \frac{4 m^2}{\sin \beta \cos^2 \beta} = \frac{8 m^2}{\sin 2 \beta \cos \beta}\).

Это и есть искомая площадь боковой поверхности пирамиды.