ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды МАВС является треугольник АВС такой, что \(AB = BC = 2 \text{ см}\), \(\angle ABC = 120^\circ\). Плоскости боковых граней МАВ и МАС перпендикулярны плоскости основания, а угол между пло- скостью МВС и плоскостью основания равен \(45^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В треугольнике \(ABK\) вычисляем высоту \(AK\) через синус угла \(120^\circ\): \(AK = AB \sin 120^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).

Длину стороны \(AC\) находим по теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ = 4 + 4 + 4 = 12\), откуда \(AC = 2 \sqrt{3}\).

Площадь треугольника равна сумме площадей, вычисленных через стороны и высоты: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 3 + \sqrt{6} + \sqrt{3}\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABK\), где угол при вершине \(B\) равен \(120^\circ\). По определению синуса в прямоугольном треугольнике длина противолежащего катета \(AK\) равна произведению гипотенузы \(AB\) на синус угла \(120^\circ\). Так как \(AB = 2\), то вычисляем \(AK = AB \sin 120^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\). Это значение важно, так как \(AK\) — высота, опущенная из вершины \(A\) на сторону \(BC\), и она будет использоваться в дальнейших расчетах.

2. Для нахождения длины стороны \(AC\) применим теорему косинусов, которая позволяет выразить сторону треугольника через две другие стороны и угол между ними. Формула: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\). Подставляем известные значения: \(AB = 2\), \(BC = 2\), \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Получаем \(AC^2 = 4 + 4 — 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 8 + 4 = 12\). Следовательно, \(AC = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\). Это значение позволяет определить третью сторону треугольника, необходимую для вычисления площади.

3. Теперь вычислим площадь треугольника, используя формулу через высоты и основания. Площадь равна сумме площадей треугольников, образованных высотами и соответствующими сторонами: \(S = \frac{1}{2} AB \cdot AK + \frac{1}{2} AC \cdot BK + \frac{1}{2} BC \cdot BK\). Подставляя известные значения, получаем: \(S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2}\). Вычисляем отдельно: первая часть \(= \sqrt{3}\), вторая часть \(= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} = 3\), третья часть \(= \sqrt{2}\). Складывая, получаем итоговую площадь \(S = 3 + \sqrt{6} + \sqrt{3}\) квадратных сантиметров.