ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(MABCD\) является ромб со стороной \(a\). Плоскости боковых граней \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны плоскости основания, а двугранный угол при ребре \(MB\) является тупым и равен \(\alpha\). Угол между плоскостью \(AMD\) и плоскостью основания равен \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основание — ромб со стороной \(a\), периметр основания \(P = 4a\).

Плоскости боковых граней \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны основанию, значит высоты этих граней связаны с углом \(\alpha\).

Двугранный угол при ребре \(MB\) равен \(\alpha\), поэтому площадь двух боковых граней около \(MB\) пропорциональна \(a^2 \sin \alpha\).

Угол между плоскостью \(AMD\) и основанием равен \(\beta\), что влияет на высоту и площадь боковых граней, добавляя множитель \(\frac{1 + \tan \beta}{\cos \beta}\).

Итоговая площадь боковой поверхности равна \( \frac{a^2 \sin \alpha (1 + \tan \beta)}{\cos \beta} \).

Основание пирамиды — ромб со стороной \(a\), значит все стороны равны \(a\), а периметр основания равен \(P = 4a\). Поскольку боковые грани \(ABM\) и \(CBM\) перпендикулярны плоскости основания, высоты этих граней относительно основания соответствуют длинам, которые можно выразить через угол \(\alpha\). Двугранный угол при ребре \(MB\) равен \(\alpha\), и он задаёт взаимное расположение плоскостей \(ABM\) и \(CBM\), что влияет на площадь этих боковых граней.

Площадь боковой поверхности пирамиды — сумма площадей всех боковых граней. Две грани \(ABM\) и \(CBM\) имеют общую сторону \(MB\), и площадь каждой из них зависит от длины ребра \(a\) и угла \(\alpha\). Поскольку эти грани перпендикулярны основанию, их высоты связаны с синусом угла \(\alpha\), а именно площадь двух граней около ребра \(MB\) пропорциональна \(a^2 \sin \alpha\). Это объясняет появление в формуле множителя \(\sin \alpha\).

Угол между плоскостью \(AMD\) и основанием равен \(\beta\), что влияет на высоту и наклон соответствующей боковой грани. Этот угол вводит дополнительный множитель, учитывающий наклон плоскости, который выражается через \(\tan \beta\) и \(\cos \beta\). В итоге площадь боковой поверхности выражается формулой \( \frac{a^2 \sin \alpha (1 + \tan \beta)}{\cos \beta} \), где числитель отражает сумму влияния углов \(\alpha\) и \(\beta\), а знаменатель корректирует площадь с учётом наклона грани относительно основания.