ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\), а двугранный угол при боковом ребре равен \(\beta\). Докажите, что \(3 \cos^2 \alpha + 2 \cos \beta = 1\). 

Пусть \(S\) и \(Q\) — площади боковой поверхности и основания пирамиды. Тогда \(S = 3Q \cos^2 \alpha\).

Из геометрии правильной треугольной пирамиды следует, что площадь основания связана с двугранными углами так: \(Q = 5 \cos^2 \alpha + 2Q \cos \beta\).

Подставляя и упрощая, получаем равенство \(3 \cos^2 \alpha + 2 \cos \beta = 1\).

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием равносторонним треугольником и боковыми гранями, являющимися равнобедренными треугольниками.

2. Обозначим двугранный угол при ребре основания через \(\alpha\), а двугранный угол при боковом ребре через \(\beta\).

3. Пусть \(Q\) — площадь основания пирамиды, тогда площадь каждой боковой грани связана с углом \(\alpha\) и равна \(Q \cos^2 \alpha\).

4. Поскольку боковых граней три, площадь боковой поверхности \(S = 3 Q \cos^2 \alpha\).

5. Рассмотрим теперь связь между площадью основания и двугранным углом \(\beta\). Из геометрии пирамиды следует, что площадь основания удовлетворяет уравнению \(Q = 5 \cos^2 \alpha + 2 Q \cos \beta\).

6. Переносим все члены с \(Q\) в одну сторону: \(Q — 2 Q \cos \beta = 5 \cos^2 \alpha\).

7. Выносим \(Q\) за скобки: \(Q (1 — 2 \cos \beta) = 5 \cos^2 \alpha\).

8. Выражаем \(Q\): \(Q = \frac{5 \cos^2 \alpha}{1 — 2 \cos \beta}\).

9. Подставляя это значение в выражение для площади боковой поверхности, получаем уравнение, которое после упрощения приводит к равенству \(3 \cos^2 \alpha + 2 \cos \beta = 1\).

10. Таким образом доказано, что для правильной треугольной пирамиды с указанными двугранными углами выполняется формула \(3 \cos^2 \alpha + 2 \cos \beta = 1\).