ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь диагонального сечения пирамиды. 

Диагональ основания \(AC = a \sqrt{2}\).

Точка \(O\) — середина диагонали, тогда \(AO = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Высота пирамиды \(SO = AO \tan \alpha = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

Площадь диагонального сечения \(SAC = \frac{1}{2} \times AC \times SO = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha = \frac{a^2}{2} \tan \alpha\).

Ответ: площадь диагонального сечения равна \(\frac{a^2}{2} \tan \alpha\).

1. Основание пирамиды — квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\). Диагональ квадрата вычисляется по формуле \(AC = a \sqrt{2}\).

2. Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), значит \(AO = \frac{a \sqrt{2}}{2}\).

3. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Высота пирамиды \(SO\) перпендикулярна основанию и связана с боковым ребром через тангенс угла: \(\tan \alpha = \frac{SO}{AO}\).

4. Отсюда высота пирамиды равна \(SO = AO \tan \alpha = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

5. Диагональное сечение — треугольник \(SAC\), в котором основание \(AC = a \sqrt{2}\), а высота \(SO = \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

6. Площадь треугольника \(SAC\) вычисляется как \(S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SO\).

7. Подставляем значения: \(S_{SAC} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a \sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

8. Упрощаем выражение: \(S_{SAC} = \frac{1}{2} \times a \times a \times \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} \tan \alpha = \frac{1}{2} \times a^{2} \times \frac{2}{2} \tan \alpha\).

9. Итог: \(S_{SAC} = \frac{a^{2}}{2} \tan \alpha\).

10. Таким образом, площадь диагонального сечения пирамиды равна \(\frac{a^{2}}{2} \tan \alpha\).