ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до боковой грани равно \(d\), а двугранный угол при боковом ребре равен \(2 \alpha\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 

Расстояние от центра основания до боковой грани равно \(d\). Для правильной треугольной пирамиды центр основания — центр вписанной окружности, радиус которой равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\), где \(a\) — сторона основания.

Двугранный угол при боковом ребре равен \(2\alpha\). Он связан с углом наклона боковой грани к основанию через \(\alpha\).

Расстояние \(d\) выражается через сторону основания и угол \(\alpha\) как \(d = \frac{a \sqrt{3}}{6} \tan \alpha\).

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трёх боковых граней, каждая из которых равна \(\frac{1}{2} a l_b\), где \(l_b\) — апофема боковой грани.

Используя тригонометрические соотношения и связь между \(d\), \(\alpha\) и \(a\), получаем формулу площади боковой поверхности:

\(S = \frac{27 d^2}{4 \cos^2 \alpha \sqrt{3 — 4 \cos^2 \alpha}}\).

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием стороны \(a\). Центр основания совпадает с центром вписанной окружности, радиус которой равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Расстояние от центра основания до боковой грани равно \(d\). Это расстояние — перпендикуляр от центра основания на плоскость боковой грани. Боковые грани — равнобедренные треугольники с основанием \(a\) и боковыми рёбрами, сходящимися в вершине пирамиды. Высота пирамиды обозначена через \(h\).

2. Двугранный угол при боковом ребре равен \(2\alpha\). Этот угол — угол между двумя смежными боковыми гранями. Если рассмотреть плоскости двух соседних боковых граней, то угол между ними равен \(2\alpha\). Через геометрию пирамиды и тригонометрию можно связать двугранный угол с углом наклона боковой грани к основанию, который равен \(\alpha\). Это важно для выражения высоты боковой грани и апофемы боковой поверхности.

3. Расстояние \(d\) выражается через сторону основания и угол \(\alpha\) как \(d = \frac{a \sqrt{3}}{6} \tan \alpha\). Это следует из того, что центр основания находится на расстоянии \(r\) от сторон основания, а угол наклона боковой грани определяется углом \(\alpha\). Апофема боковой грани \(l_b\) связана с высотой пирамиды и углом \(\alpha\), и её можно выразить через \(a\) и \(\alpha\).

4. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием \(a\) и высотой \(l_b\), поэтому площадь одной грани равна \(\frac{1}{2} a l_b\). Тогда площадь всей боковой поверхности равна \(S = \frac{3}{2} a l_b\).

5. Используя связи между \(d\), \(\alpha\), \(a\) и апофемой \(l_b\), получаем формулу площади боковой поверхности в виде

\(S = \frac{27 d^2}{4 \cos^2 \alpha \sqrt{3 — 4 \cos^2 \alpha}}\).