ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Сторона \(АВ\) и высота \(МО\) правильной четырёхугольной пирамиды \(MABCD\) соответственно равны 8 см и 4 см. Точка \(К\) — середина ребра \(DC\). Найдите расстояние между прямыми \(МК\) и \(АС\).

Основание пирамиды — квадрат со стороной \(8\) см, центр основания \(O\).

Высота \(MO = 4\) см перпендикулярна основанию.

Точка \(K\) — середина ребра \(DC\).

Проекция прямой \(MK\) на основание проходит через \(O\).

Расстояние между прямыми \(MK\) и \(AC\) равно расстоянию от \(O\) до \(MK_{\text{пр}}\).

Расстояние вычисляется как \( \rho(MK, AC) = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \) см.

1. Основание пирамиды \(MABCD\) — правильный квадрат со стороной \(AB = 8\) см. Обозначим центр основания через \(O\).

2. Высота пирамиды \(MO = 4\) см перпендикулярна плоскости основания.

3. Координаты точек основания можно выбрать так: \(A(4; 4; 0)\), \(B(-4; 4; 0)\), \(C(-4; -4; 0)\), \(D(4; -4; 0)\), \(O(0; 0; 0)\).

4. Точка \(K\) — середина ребра \(DC\), значит \(K = \left(\frac{4 + (-4)}{2}; \frac{-4 + (-4)}{2}; 0\right) = (0; -4; 0)\).

5. Вершина пирамиды \(M\) имеет координаты \(M(0; 0; 4)\).

6. Вектор \(MK = K — M = (0 — 0; -4 — 0; 0 — 4) = (0; -4; -4)\).

7. Вектор \(AC = C — A = (-4 — 4; -4 — 4; 0 — 0) = (-8; -8; 0)\).

8. Найдём вектор, перпендикулярный и к \(MK\), и к \(AC\) как векторное произведение:
\[
\vec{n} = MK \times AC =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & -4 & -4 \\
-8 & -8 & 0 \\
\end{vmatrix} = (-32; 32; -32)
\]

9. Модуль вектора \(\vec{n}\) равен
\[
|\vec{n}| = \sqrt{(-32)^2 + 32^2 + (-32)^2} = \sqrt{3 \cdot 32^2} = 32 \sqrt{3}
\]

10. Расстояние между прямыми \(MK\) и \(AC\) вычисляется по формуле
\[
\rho = \frac{|(A — M) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}
\]
где \(A(4; 4; 0)\) — точка на прямой \(AC\), \(M(0; 0; 4)\) — точка на прямой \(MK\).

Вычислим вектор \(A — M = (4 — 0; 4 — 0; 0 — 4) = (4; 4; -4)\).

Скалярное произведение:
\((A — M) \cdot \vec{n} = 4 \cdot (-32) + 4 \cdot 32 + (-4) \cdot (-32) = -128 + 128 + 128 = 128\)

Тогда расстояние:
\[
\rho = \frac{128}{32 \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}
\]

Ответ: расстояние между прямыми \(MK\) и \(AC\) равно \(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\) см.