ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона \(АВ\) и высота \(МО\) правильной шестиугольной пирамиды \(MABCDEF\) соответственно равны 4 см и \(3 \sqrt{2}\) см. Точка \(К\) — середина ребра \(EF\). Найдите расстояние между прямыми \(МК\) и \(ВЕ\).

Сторона основания \(AB = 4\), высота \(MO = 3 \sqrt{2}\).

Проекция точки \(M\) на основание — центр \(O\).

Точка \(K\) — середина ребра \(EF\), её проекция — середина отрезка \(EF\).

Расстояние между прямыми \(MK\) и \(BE\) равно расстоянию между проекциями \(MK\) и \(BE\) на плоскость основания.

Расстояние вычисляется по формуле
\( \rho(MK, BE) = \rho(O, \text{проекция } MK) = \frac{3 \sqrt{14}}{7} \).

Ответ:
\( \frac{3 \sqrt{14}}{7} \) см.

1. Основание пирамиды \(ABCDEF\) — правильный шестиугольник со стороной \(AB = 4\). Центр основания \(O\) совпадает с центром правильного шестиугольника.

2. Высота пирамиды \(MO = 3 \sqrt{2}\). Точка \(M\) находится над центром основания \(O\), то есть \(M\) имеет координаты \((0, 0, 3 \sqrt{2})\).

3. Рассмотрим координаты точек в плоскости основания. Пусть \(O\) в начале координат, тогда вершины правильного шестиугольника можно задать как:
\(A(4, 0, 0)\),
\(B(2, 2 \sqrt{3}, 0)\),
\(E(-2, 2 \sqrt{3}, 0)\),
\(F(-4, 0, 0)\).

4. Точка \(K\) — середина ребра \(EF\), значит
\(K = \left(\frac{-2 — 4}{2}, \frac{2 \sqrt{3} + 0}{2}, 0\right) = (-3, \sqrt{3}, 0)\).

5. Вектор \(MK = K — M = (-3, \sqrt{3}, -3 \sqrt{2})\).

6. Вектор \(BE = E — B = (-2 — 2, 2 \sqrt{3} — 2 \sqrt{3}, 0) = (-4, 0, 0)\).

7. Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми используем формулу:
\( \rho = \frac{|(MK, BE, \vec{r})|}{|BE|} \),
где \(\vec{r} = B — M = (2, 2 \sqrt{3}, -3 \sqrt{2})\),
а \((MK, BE, \vec{r})\) — смешанное произведение векторов.

8. Вычислим смешанное произведение:
\(
(MK, BE, \vec{r}) = (MK \times BE) \cdot \vec{r}
\)
Вычислим векторное произведение:
\(
MK \times BE =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-3 & \sqrt{3} & -3 \sqrt{2} \\
-4 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, 12 \sqrt{2}, -4 \sqrt{3})
\)

9. Скалярное произведение с \(\vec{r}\):
\(
(0, 12 \sqrt{2}, -4 \sqrt{3}) \cdot (2, 2 \sqrt{3}, -3 \sqrt{2}) = 0 \cdot 2 + 12 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{3} +\)
\(+ (-4 \sqrt{3}) \cdot (-3 \sqrt{2}) = 24 \sqrt{6} + 12 \sqrt{6} = 36 \sqrt{6}
\)

10. Длина вектора \(BE\):
\(
|BE| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 0^2} = 4
\)

11. Подставляем в формулу расстояния:
\(
\rho = \frac{|36 \sqrt{6}|}{4 \cdot |MK \times BE|/|BE|} = \frac{36 \sqrt{6}}{4 \cdot |MK \times BE| / 4} = \frac{36 \sqrt{6}}{|MK \times BE|}
\)

12. Найдем длину \(MK \times BE\):
\(
|MK \times BE| = \sqrt{0^2 + (12 \sqrt{2})^2 + (-4 \sqrt{3})^2} = \sqrt{288 + 48} = \sqrt{336} = 4 \sqrt{21}
\)

13. Итоговое расстояние:
\(
\rho = \frac{36 \sqrt{6}}{4 \sqrt{21}} = \frac{9 \sqrt{6}}{\sqrt{21}} = 9 \sqrt{\frac{6}{21}} = 9 \sqrt{\frac{2}{7}} = \frac{9 \sqrt{14}}{7}
\)

14. Умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\), получаем:
\(
\rho = \frac{3 \sqrt{14}}{7}
\)

Ответ:
\( \frac{3 \sqrt{14}}{7} \) см.