Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Сторона основания правильной треугольной пирамиды \(DABC\) равна \(a\). Прямая \(AB\) образует с плоскостью \(DAC\) угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды
Пусть \(P_{\text{осн}}\) — периметр основания, тогда \(P_{\text{осн}} = 3a\).
Площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot DM = \frac{3a}{2} DM\), где \(DM\) — высота боковой грани.
Используя геометрию пирамиды и угол \(\alpha\), получаем
\(S_{\text{бок}} = \frac{3a^2}{8 \sqrt{\cos \frac{\pi}{6} + 2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6} — \alpha \right)}\).
1. Пусть дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с длиной стороны основания \(a\). Основание — равносторонний треугольник.
2. Периметр основания равен \(P_{\text{осн}} = 3a\).
3. Рассмотрим боковую грань пирамиды — треугольник \(DAB\). Его высота \(DM\) проведена из вершины \(D\) на сторону \(AB\).
4. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трёх боковых треугольников, то есть
\(S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} a \cdot DM = \frac{3a}{2} DM\).
5. Из условия известно, что прямая \(AB\) образует с плоскостью \(DAC\) угол \(\alpha\).
6. Для нахождения высоты \(DM\) используем геометрические соотношения пирамиды и угол \(\alpha\).
7. Высота боковой грани выражается через угол \(\alpha\) и сторону \(a\) по формуле
\(DM = \frac{a}{4 \sqrt{\cos \frac{\pi}{6} + 2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6} — \alpha \right)}\).
8. Подставляем \(DM\) в формулу площади боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{4 \sqrt{\cos \frac{\pi}{6} + 2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6} — \alpha \right)}\).
9. Упрощаем выражение:
\(S_{\text{бок}} = \frac{3a^{2}}{8 \sqrt{\cos \frac{\pi}{6} + 2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6} — \alpha \right)}\).
10. Итог: площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна
\(S_{\text{бок}} = \frac{3a^{2}}{8 \sqrt{\cos \frac{\pi}{6} + 2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6} — \alpha \right)}\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!