ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды \(MABCDEF\) равна \(S\). Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMC\) равен \(\alpha\). Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть сторона основания правильного шестиугольника равна \(a\).

Площадь боковой поверхности равна \(S = 6 \times \frac{1}{2} a l\), где \(l\) — апофема боковой грани.

Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMC\) равен \(\alpha\). Тогда высота боковой грани связана с углом \(\alpha\) и углом \(\frac{\pi}{6}\) основания.

Используя тригонометрию, площадь основания правильного шестиугольника равна

\(S_{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2\).

Выразим \(a\) через \(S\) и \(\alpha\), учитывая, что \(l = a \frac{\cos(\frac{\pi}{6} — \alpha)}{\cos \alpha}\).

После преобразований получаем

\(S_{\text{осн}} = \frac{2 S \sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} — \alpha)}{3}\).

1. Рассмотрим правильный шестиугольник с длиной стороны \(a\). Площадь его основания равна \(S_{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}\). Боковая поверхность пирамиды состоит из 6 равных треугольников с основанием \(a\) и высотой, равной апофеме боковой грани, обозначим её \(l\). Площадь боковой поверхности равна \(S = 6 \times \frac{1}{2} a l = 3 a l\).

2. Угол \(\alpha\) — угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(BMC\). Эта плоскость содержит ребро \(BC\) и вершину \(M\). Угол \(\alpha\) влияет на наклон боковой грани относительно основания. Апофема боковой грани \(l\) связана с высотой пирамиды и углом \(\alpha\), а также с углом \(\frac{\pi}{6}\), который соответствует углу между сторонами правильного шестиугольника и радиусом описанной окружности.

3. Используя тригонометрические соотношения, апофему боковой грани можно выразить через сторону основания и углы: \(l = a \frac{\cos(\frac{\pi}{6} — \alpha)}{\cos \alpha}\). Подставляя это в формулу площади боковой поверхности, получаем \(S = 3 a^{2} \frac{\cos(\frac{\pi}{6} — \alpha)}{\cos \alpha}\). Выразим \(a^{2}\) из площади основания и подставим в уравнение для \(S\), после преобразований получаем площадь основания:

\(S_{\text{осн}} = \frac{2 S \sqrt{3} \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} — \alpha)}{3}\).