ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник, стороны которого равны 3 см, 4 см и 5 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный \(45^\circ\). Найдите высоту пирамиды.

1 см, или 2 см, или 3 см, или 6 см. Указание. Основание высоты пирамиды — один из центров вневписанных окружностей треугольника, являющийся основанием.

Основание пирамиды — треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см, который является прямоугольным. Полупериметр этого треугольника равен \( p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \) см. Вневписанные окружности касаются одной стороны треугольника и продолжений двух других, а их центры лежат вне треугольника. В задаче указано, что основание высоты пирамиды — один из таких центров вневписанных окружностей.

Для нахождения высоты пирамиды нужно определить расстояние от этого центра до плоскости основания. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол 45°, значит высота пирамиды \( h \) связана с длиной бокового ребра \( l \) соотношением \( h = l \sin 45^\circ = \frac{l}{\sqrt{2}} \).

Поскольку основание высоты — центр вневписанной окружности, расстояние от этого центра до каждой стороны треугольника равно радиусу соответствующей вневписанной окружности. Известно, что радиусы вневписанных окружностей для данного треугольника равны 1 см, 2 см, 3 см или 6 см. Таким образом, высота пирамиды может принимать одно из этих значений.

Ответ: высота пирамиды равна 1 см, или 2 см, или 3 см, или 6 см.