ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна \(10 \sqrt{3}\) см. Высота пирамиды равна 12 см. Боковые грани пирамиды являются равновеликими треугольниками. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Формула площади боковой поверхности правильной треугольной призмы:
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} h \)

2. Периметр основания:
\( P = 30 \sqrt{3} \) см

3. Найдём высоту основания (по теореме Пифагора):
\( SU^2 = SO^2 + OH^2 \)
\( SU = 13 \) см

4. Подставим значения в формулу площади боковой поверхности:
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 30 \sqrt{3} \cdot 13 = 195 \sqrt{3} \) см²

1. Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной призмы используем формулу \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} h \), где \( P_{\text{осн}} \) — периметр основания, а \( h \) — высота призмы. Эта формула вытекает из того, что боковая поверхность призмы состоит из прямоугольников, сумма площадей которых равна произведению периметра основания на высоту, с учётом деления на 2 для правильного треугольника.

2. Периметр основания равен \( P = 30 \sqrt{3} \) см. Это значение было задано или вычислено заранее, исходя из длины сторон правильного треугольника. Правильный треугольник имеет три равные стороны, и если длина одной стороны известна, то периметр вычисляется как трижды длина стороны. В данном случае длина стороны умножена на \( \sqrt{3} \), что часто встречается при работе с треугольниками, связанными с высотой или медианой.

3. Для нахождения высоты основания призмы применяем теорему Пифагора. Высота \( SU \) вычисляется по формуле \( SU^2 = SO^2 + OH^2 \), где \( SO \) и \( OH \) — катеты прямоугольного треугольника, образованного внутри основания. Подставляя известные значения, получаем \( SU = 13 \) см. После этого подставляем все известные данные в формулу площади боковой поверхности:
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 30 \sqrt{3} \cdot 13 = 195 \sqrt{3} \) см².
Таким образом, площадь боковой поверхности равна \( 195 \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.