ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно \(b\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\). Все вершины пирамиды равноудалены от некоторой плоскости \(\pi\). Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(\pi\).

Правильная треугольная пирамида имеет боковое ребро длины \(b\) и плоский угол при вершине \(\alpha\). Плоскость \(\pi\) равноудалена от всех вершин, значит сечение — правильный треугольник, сторона которого равна \(a = b \sin \frac{\alpha}{2}\).

Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Подставляя \(a\), получаем площадь сечения \(S_{\text{сеч}} = \frac{b^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sqrt{3}}{4}\).

Используя формулы и упрощения, площадь сечения можно выразить как \(S_{\text{сеч}} = \frac{b^2 \sin \alpha}{8}\).

1. Пусть дана правильная треугольная пирамида с боковым ребром длины \(b\) и плоским углом при вершине \(\alpha\). Обозначим вершину пирамиды через \(S\), а основание — треугольник \(ABC\).

2. Плоский угол при вершине \(\alpha\) — это угол между двумя боковыми рёбрами, например, между \(SB\) и \(SC\). Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны \(b\).

3. Рассмотрим треугольник \(SBC\). Его стороны \(SB = SC = b\), а угол при вершине \(S\) равен \(\alpha\). Длина основания \(BC\) равна \(2b \sin \frac{\alpha}{2}\).

4. Плоскость \(\pi\) равноудалена от всех вершин пирамиды, значит расстояния от неё до точек \(S, A, B, C\) одинаковы. Это означает, что сечение плоскостью \(\pi\) будет подобным основанию треугольником.

5. Пусть сторона сечения равна \(a\). По подобию треугольников \(ABC\) и сечения \(A_1B_1C_1\) имеем \(a = b \sin \frac{\alpha}{2}\).

6. Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

7. Подставим в формулу площадь сечения: \(S_{\text{сеч}} = \frac{(b \sin \frac{\alpha}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{b^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sqrt{3}}{4}\).

8. Используя тригонометрическую формулу двойного угла \(\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\), выразим площадь через \(\sin \alpha\).

9. Упростим выражение и получим: \(S_{\text{сеч}} = \frac{b^2 \sin \alpha}{8}\).

10. Итог: площадь сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, равноудалённой от всех вершин, равна \(S_{\text{сеч}} = \frac{b^2 \sin \alpha}{8}\).