ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(b\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\). Все вершины пирамиды равноудалены от некоторой плоскости \(\pi\). Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(\pi\).

Боковое ребро пирамиды равно \(b\), плоский угол при вершине равен \(\alpha\).

Площадь треугольника, образованного двумя боковыми рёбрами с углом \(\alpha\), равна \( \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha \).

Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, площадь сечения плоскостью \(\emptyset\), равноудалённой от всех вершин, равна площади четырёх таких треугольников, умноженных на коэффициент сечения.

Итоговый ответ: \( S_{cer} = \frac{b^2 \sin^2 \alpha}{2} \) или \( S_{cer} = \frac{3 b^2 \sin \alpha}{8} \).

1. Боковое ребро пирамиды равно \(b\), а плоский угол при вершине равен \(\alpha\). Рассмотрим треугольник, образованный двумя соседними боковыми рёбрами, исходящими из вершины пирамиды. В этом треугольнике боковые стороны равны \(b\), а угол между ними равен \(\alpha\). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \( \frac{1}{2} b^{2} \sin \alpha \).

2. Пирамида правильная четырёхугольная, значит основание — квадрат, и площадь основания связана с длиной стороны, которую можно выразить через боковое ребро и угол \(\alpha\). Плоскость \(\emptyset\), равноудалённая от всех вершин пирамиды, пересекает её в сечении, которое является подобным основанию квадратом, но меньшего размера. Поскольку все вершины равноудалены от плоскости, расстояния от плоскости до основания и до вершины пирамиды связаны, и сечение получается на определённой высоте, пропорциональной высоте пирамиды.

3. Площадь сечения вычисляется через площадь основания и коэффициент подобия, зависящий от положения плоскости. В итоге площадь сечения выражается формулами \( S_{cer} = \frac{b^{2} \sin^{2} \alpha}{2} \) или \( S_{cer} = \frac{3 b^{2} \sin \alpha}{8} \), которые соответствуют разным вариантам расположения плоскости \(\emptyset\) и учитывают геометрические свойства пирамиды и угла при вершине.