ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в правильной пирамиде:  

1) боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания;  

2) двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны. 

В правильной пирамиде боковые рёбра равны: \( SA = SB = SC = SD \), а радиусы основания равны: \( OA = OB = OC = OD \). Треугольники \( \triangle S A O \), \( \triangle S B O \), \( \triangle S C O \), \( \triangle S D O \) равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания равны: \( \angle S A O = \angle S B O = \angle S C O = \angle S D O \).

Двугранные углы при рёбрах основания равны, так как соответствующие треугольники, образованные боковыми рёбрами и радиусами основания, равны. Например, \( \triangle S K O = \triangle S U O \), значит двугранные углы \( \angle S K O = \angle S U O \) равны.

1) В правильной пирамиде боковые рёбра равны: \( SA = SB = SC = SD \). Радиусы основания равны: \( OA = OB = OC = OD \). Рассмотрим треугольники \( \triangle S A O \), \( \triangle S B O \), \( \triangle S C O \), \( \triangle S D O \). В каждом из них стороны \( SA = SB = SC = SD \), \( OA = OB = OC = OD \), а сторона \( SO \) общая. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними имеем равенство всех четырёх треугольников.

2) Из равенства треугольников следует, что углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания равны: \( \angle S A O = \angle S B O = \angle S C O = \angle S D O \).

3) Рассмотрим двугранные углы при рёбрах основания. Пусть ребро основания \( SO \) и две плоскости, образованные боковыми рёбрами и радиусами основания, например, \( S K O \) и \( S U O \).

4) Треугольники \( \triangle S K O \) и \( \triangle S U O \) равны, так как \( SO \) — общее ребро, а \( OK = OU \) (радиусы основания), и боковые рёбра равны.

5) Следовательно, двугранные углы при ребре основания равны: \( \angle S K O = \angle S U O \).