ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Каждое ребро тетраэдра равно 1 см. Найдите наибольшее возможное значение площади сечения данного тетраэдра плоскостью, параллельной двум его скрещивающимся рёбрам.

Пусть тетраэдр правильный со стороной 1 см.

Сечение, параллельное двум скрещивающимся рёбрам, будет прямоугольным треугольником с катетами \( EF = 1 \) и \( FK = \frac{1}{2} \).

Площадь сечения равна \( S = \frac{1}{2} \times EF \times FK = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \text{ см}^2 \).

1. Рассмотрим правильный тетраэдр со стороной \( 1 \) см.

2. Выберем два скрещивающихся ребра, например, \( EF \) и \( FK \). Они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Сечение, параллельное этим ребрам, будет иметь форму параллелограмма, но в данном случае — прямоугольного треугольника, образованного отрезками, параллельными \( EF \) и \( FK \).

4. Длина ребра \( EF \) равна \( 1 \) см (сторона тетраэдра).

5. Длина отрезка, параллельного ребру \( FK \), равна половине стороны тетраэдра, то есть \( \frac{1}{2} \) см, так как сечение проходит через середины ребер.

6. Площадь треугольного сечения вычисляется по формуле площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).

7. В нашем случае основание — \( EF = 1 \), высота — \( FK = \frac{1}{2} \).

8. Подставляем значения в формулу: \( S = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} \).

9. Выполним умножение: \( S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

10. Таким образом, наибольшая площадь сечения, параллельного двум скрещивающимся ребрам, равна \( \frac{1}{4} \) см\( ^2 \).