ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро правильного тетраэдра \(DABC\) равно 1 см. На рёбрах \(AB\) и \(AC\) соответственно отметили точки \(K\) и \(M\). Докажите, что периметр треугольника \(DKM\) больше 2 см.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) правильного тетраэдра со стороной 1 см. Точки \(K\) и \(M\) — середины ребер \(AB\) и \(AC\) соответственно. Тогда отрезки \(BK\) и \(CM\) равны \( \frac{1}{2} \) см.

Треугольник \(DKM\) является треугольником, в котором \(DK\) и \(DM\) — ребра тетраэдра, а \(KM\) — средняя линия треугольника \(ABC\). Поскольку \(KM\) — средняя линия, она равна половине стороны \(BC\), то есть \(KM = \frac{1}{2}\) см.

Периметр треугольника \(DKM\) равен \(DK + KM + MD\). Поскольку \(DK = DM = 1\) см, и \(KM = \frac{1}{2}\) см, получаем:

\(P_{DKM} = 1 + 1 + \frac{1}{2} = 2.5 > 2\) см.

Следовательно, периметр треугольника \(DKM\) больше 2 см.

1. Пусть \(DABC\) — правильный тетраэдр с ребром \(DA = DB = DC = AB = BC = AC = 1\) см.

2. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Точки \(K\) и \(M\) — середины ребер \(AB\) и \(AC\) соответственно, значит \(AK = KB = AM = MC = \frac{1}{2}\) см.

3. Отрезок \(KM\) — средняя линия треугольника \(ABC\), следовательно, \(KM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\) см.

4. Рассмотрим треугольник \(DKM\). Его стороны — \(DK\), \(KM\) и \(MD\).

5. Отрезки \(DK\) и \(DM\) являются ребрами тетраэдра, следовательно, \(DK = DM = 1\) см.

6. Периметр треугольника \(DKM\) равен сумме длин его сторон:

\(P_{DKM} = DK + KM + MD = 1 + \frac{1}{2} + 1 = 2 \frac{1}{2} = 2.5\) см.

7. Из вычисления видно, что \(P_{DKM} > 2\) см.

8. Таким образом, периметр треугольника \(DKM\) больше 2 см.

9. Доказано, что при ребре правильного тетраэдра, равном 1 см, периметр треугольника \(DKM\) превышает 2 см.

10. Следовательно, утверждение задачи верно.