Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Ребро правильного тетраэдра \(DABC\) равно 1 см. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между серединами рёбер \(AB\) и \(CD\).
Середины рёбер \(M\) и \(K\) находятся на ребрах \(AB\) и \(CD\) соответственно. В правильном тетраэдре все ребра равны 1 см.
Кратчайший путь по поверхности между этими точками совпадает с отрезком \(MK\), так как он лежит на грани тетраэдра.
Длина отрезка \(MK\) равна длине ребра, то есть \(r(M,K) = MK = 1\) см.
1. Рассмотрим правильный тетраэдр \(DABC\) с ребром длины 1 см. Все ребра равны, то есть \(AB = BC = CD = DA = DB = AC = 1\).
2. Обозначим середины рёбер: \(M\) — середина ребра \(AB\), \(K\) — середина ребра \(CD\). Тогда \(AM = MB = CK = KD = \frac{1}{2}\).
3. Для нахождения кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между точками \(M\) и \(K\) нужно рассмотреть развертку тетраэдра, так как кратчайший путь по поверхности можно представить как прямую линию на развертке.
4. Развертка правильного тетраэдра представляет собой четыре равносторонних треугольника со стороной 1, соединённых по рёбрам.
5. На развертке точки \(M\) и \(K\) лежат на сторонах, соответствующих рёбрам \(AB\) и \(CD\), и расстояние между ними равно длине отрезка \(MK\).
6. Так как \(M\) и \(K\) — середины сторон, то \(MK\) — это отрезок, соединяющий середины двух сторон равностороннего треугольника.
7. В равностороннем треугольнике длина отрезка, соединяющего середины двух сторон, равна половине стороны треугольника, то есть \(\frac{1}{2}\).
8. Однако в развертке тетраэдра \(M\) и \(K\) лежат на разных треугольниках, соединённых общим ребром, и расстояние между ними по поверхности совпадает с длиной отрезка \(MK\).
9. Вычислим длину отрезка \(MK\). Координаты \(M\) и \(K\) можно задать с учётом длины ребра и расположения точек, но в данном случае длина \(MK\) равна 1 см.
10. Следовательно, кратчайшее расстояние по поверхности между серединами рёбер \(AB\) и \(CD\) равно \(r(M,K) = MK = 1\) см.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!