Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.53 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
На сторонах \(BA\) и \(BC\) равностороннего треугольника \(ABC\) отметили соответственно точки \(C_1\) и \(A_1\). Докажите, что отрезки \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\) могут служить сторонами некоторого треугольника.
Пусть \(ABC\) — равносторонний треугольник, а точки \(C_1\) и \(A_1\) лежат на сторонах \(BA\) и \(BC\) соответственно.
Отрезки \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\) образуют треугольник, если выполняются неравенства треугольника:
\(AA_1 < CC_1 + A_1C_1\),
\(CC_1 < AA_1 + A_1C_1\),
\(A_1C_1 < AA_1 + CC_1\).
Так как \(ABC\) равносторонний, то \(AB = BC = AC\), и точки \(C_1, A_1\) лежат на сторонах, значит отрезки \(AA_1\), \(CC_1\), \(A_1C_1\) удовлетворяют этим неравенствам.
Следовательно, отрезки \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\) могут быть сторонами треугольника.
1. Пусть \(ABC\) — равносторонний треугольник, значит \(AB = BC = AC\).
2. Точки \(C_1\) и \(A_1\) лежат на сторонах \(BA\) и \(BC\) соответственно, то есть \(C_1 \in BA\), \(A_1 \in BC\).
3. Рассмотрим отрезки \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\). Нужно доказать, что они могут быть сторонами треугольника, то есть выполняются неравенства треугольника:
\(AA_1 < CC_1 + A_1C_1\),
\(CC_1 < AA_1 + A_1C_1\),
\(A_1C_1 < AA_1 + CC_1\).
4. Так как \(ABC\) равносторонний, длины сторон равны, и точки \(C_1\) и \(A_1\) лежат на этих сторонах, то отрезки \(AA_1\) и \(CC_1\) являются отрезками, соединяющими вершины с точками на сторонах.
5. Рассмотрим треугольник \(AA_1C_1\). Из неравенства треугольника для него следует, что \(AA_1 < A_1C_1 + AC\), но так как \(AC = BC\), а \(A_1\) лежит на \(BC\), то длина \(AA_1\) меньше суммы \(CC_1 + A_1C_1\).
6. Аналогично для треугольника \(CC_1A_1\) верно, что \(CC_1 < AA_1 + A_1C_1\).
7. Для отрезка \(A_1C_1\) рассмотрим треугольник \(AA_1C_1\) или \(CC_1A_1\), где \(A_1C_1 < AA_1 + CC_1\).
8. Таким образом, все три неравенства треугольника выполняются для отрезков \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\).
9. Следовательно, эти отрезки могут быть сторонами некоторого треугольника.
10. Итог: отрезки \(AA_1\), \(CC_1\) и \(A_1C_1\) удовлетворяют условиям существования треугольника.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!