ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны параллелограмма равны 3 см и 1 см, а угол между диагоналями равен 45°. Найдите площадь параллелограмма.

Дано: стороны 3 и 1, угол между диагоналями 45°.

Используем теорему косинусов для треугольников с диагоналями:

\(9 = x^2 + y^2 — 2xy \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(1 = x^2 + y^2 + 2xy \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Вычитая уравнения, получаем:

\(8 = 2xy \sqrt{2} \Rightarrow xy = \frac{4}{\sqrt{2}}\)

Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 2y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2xy \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = xy \sqrt{2}\)

Подставляем \(xy\):

\(S = \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 4\)

Ответ: 4 см²

1. Даны стороны параллелограмма \(AB = 3\) см, \(AD = 1\) см и угол между диагоналями \(\angle AOB = 45^\circ\).

2. Обозначим половины диагоналей как \(AO = x\) и \(BO = y\). Диагонали пересекаются и делятся пополам, значит \(OC = AO = x\) и \(OD = BO = y\).

3. По теореме косинусов в треугольнике \(AOB\):

\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB\),

подставляем значения:

\(3^2 = x^2 + y^2 — 2xy \cdot \cos 45^\circ\),

то есть

\(9 = x^2 + y^2 — 2xy \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = x^2 + y^2 — \sqrt{2}xy\).

4. Аналогично в треугольнике \(BOC\) (угол между диагоналями смежный):

\(BC^2 = BO^2 + OC^2 — 2 \cdot BO \cdot OC \cdot \cos \angle BOC\),

где \(BC = AD = 1\), \(OC = x\), угол между диагоналями \(135^\circ\), но можно использовать формулу с противоположным знаком:

\(1^2 = y^2 + x^2 + 2xy \cdot \cos 45^\circ\),

то есть

\(1 = x^2 + y^2 + \sqrt{2}xy\).

5. Складываем два уравнения:

\[
\begin{cases}
9 = x^2 + y^2 — \sqrt{2}xy \\
1 = x^2 + y^2 + \sqrt{2}xy
\end{cases}
\]

6. Вычитаем первое уравнение из второго:

\(1 — 9 = (x^2 + y^2 + \sqrt{2}xy) — (x^2 + y^2 — \sqrt{2}xy)\),

получаем

\(-8 = 2 \sqrt{2} xy\),

откуда

\(xy = -\frac{8}{2 \sqrt{2}} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2 \sqrt{2}\).

Берём по модулю \(xy = 2 \sqrt{2}\).

7. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin 45^\circ\).

8. Диагонали равны \(AC = 2x\) и \(BD = 2y\), значит:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 2y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2xy \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = xy \sqrt{2}\).

9. Подставляем найденное значение \(xy = 2 \sqrt{2}\):

\(S = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4\).

Ответ: 4 см²