ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.55 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 25\) см, \(AC = 14\) см. К окружности, вписанной в данный треугольник, проведена касательная, параллельная основанию \(AC\) и пересекающая стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Найдите площадь треугольника \(MBK\).

1. Вычисляем полупериметр треугольника \(ABC\): \(p = \frac{25 + 25 + 14}{2} = 32\).

2. Находим площадь \(S_{ABC} = \sqrt{32 \times 7 \times 7 \times 18} = 168\).

3. Касательная \(MK\) параллельна \(AC\), треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом \(k = \frac{9}{16}\).

4. Площадь \(S_{MBK} = S_{ABC} \times k^2 = 168 \times \left(\frac{9}{16}\right)^2 = \frac{1701}{32}\).

1. В треугольнике \(ABC\) даны стороны \(AB = BC = 25\) см, \(AC = 14\) см. Вычисляем полупериметр по формуле \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{25 + 25 + 14}{2} = 32\).

2. Находим площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона: \(S_{ABC} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)} = \sqrt{32(32 — 25)(32 — 25)(32 — 14)}\).

3. Подставляем значения: \(S_{ABC} = \sqrt{32 \times 7 \times 7 \times 18} = \sqrt{28224} = 168\) см\(^2\).

4. Касательная к вписанной окружности, параллельная стороне \(AC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(K\). Треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны по двум углам.

5. Обозначим коэффициент подобия как \(k = \frac{MK}{AC} = \frac{MB}{AB} = \frac{BK}{BC}\).

6. Из условия и построения следует, что \(k = \frac{9}{16}\).

7. Площадь треугольника \(MBK\) пропорциональна квадрату коэффициента подобия: \(S_{MBK} = S_{ABC} \times k^2\).

8. Подставляем значения: \(S_{MBK} = 168 \times \left(\frac{9}{16}\right)^2 = 168 \times \frac{81}{256}\).

9. Вычисляем: \(S_{MBK} = \frac{168 \times 81}{256} = \frac{13608}{256} = \frac{1701}{32}\) см\(^2\).

10. Итог: площадь треугольника \(MBK\) равна \(\frac{1701}{32}\) см\(^2\).