ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания, то двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны.

Если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания, то основание — правильный многоугольник.

Пирамида с правильным многоугольником в основании и вершиной над центром основания называется правильной пирамидой.

В правильной пирамиде все боковые ребра равны, а двугранные углы при ребрах основания равны, так как высота опущена в центр основания и симметрия сохраняется.

Следовательно, двугранные углы при рёбрах основания равны.

1. Пусть вершина пирамиды \(S\) проецируется в точку \(O\), являющуюся центром вписанной окружности основания \(ABCD\).

2. Так как \(O\) — центр вписанной окружности многоугольника \(ABCD\), то \(ABCD\) — правильный многоугольник, то есть все его стороны равны и все углы равны.

3. Из условия проекции вершины \(S\) на центр \(O\) следует, что высота пирамиды опущена именно в центр основания, то есть перпендикулярна плоскости основания.

4. Пирамида с правильным многоугольником в основании и высотой, опущенной в центр основания, называется правильной пирамидой.

5. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, так как вершина \(S\) равноудалена от всех вершин основания.

6. Рассмотрим двугранные углы при рёбрах основания. Они образованы плоскостью основания и боковыми гранями пирамиды.

7. Из симметрии правильной пирамиды следует, что двугранные углы при всех рёбрах основания равны, так как каждая боковая грань симметрична относительно высоты.

8. Таким образом, двугранные углы при рёбрах основания равны между собой.

9. Следовательно, если вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания, то основание правильное, пирамида правильная, и все двугранные углы при рёбрах основания равны.

10. Итог: двугранные углы при рёбрах основания равны.