ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания, то все боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания.

Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания, то все боковые рёбра равны, то есть \(VA = VB = VC = \ldots\).

Поскольку боковые рёбра равны, расстояния от вершины \(V\) до вершин основания одинаковы.

Рассмотрим угол между боковым ребром и плоскостью основания. Для любого ребра угол определяется высотой, опущенной из вершины на основание.

Так как вершина проецируется в центр описанной окружности, высоты на основание для всех рёбер равны, следовательно углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания равны.

21.7. Если вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания, то все боковые рёбра равны.

1. Обозначим вершину пирамиды как \(V\), а вершины основания — \(A, B, C, \ldots\). Пусть центр описанной окружности основания — точка \(O\).

2. По условию проекция точки \(V\) на плоскость основания совпадает с точкой \(O\).

3. Рассмотрим боковые рёбра \(VA, VB, VC, \ldots\). Так как \(O\) — центр описанной окружности, расстояния от \(O\) до всех вершин основания равны: \(OA = OB = OC = \ldots = R\).

4. Из прямоугольного треугольника \(V O A\) по теореме Пифагора имеем: \(VA^2 = VO^2 + OA^2\).

5. Аналогично для ребра \(VB\): \(VB^2 = VO^2 + OB^2\).

6. Так как \(OA = OB\), то \(VA^2 = VB^2\), следовательно \(VA = VB\).

7. Аналогично доказывается равенство всех боковых рёбер: \(VA = VB = VC = \ldots\).

8. Для углов между боковыми рёбрами и плоскостью основания рассмотрим угол \(\alpha\) между ребром \(VA\) и плоскостью основания.

9. Этот угол равен углу между ребром \(VA\) и высотой \(VO\), то есть \(\cos \alpha = \frac{VO}{VA}\).

10. Поскольку все боковые рёбра равны и \(VO\) фиксировано, то все углы \(\alpha\) равны, то есть все боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания.