ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть \(ABC\) — основание пирамиды, \(S\) — вершина, угол между боковым ребром \(SA\) и плоскостью основания равен \(\alpha\).

Высота \(SO\) пирамиды перпендикулярна плоскости основания, значит угол между \(SO\) и \(SA\) равен \(\alpha\).

В основании правильного треугольника угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\).

Двугранный угол при ребре основания \(AB\) равен углу между плоскостями \(ABC\) и \(SAB\).

Этот угол вычисляется по формуле \(\theta = \arctan(2 \tan \alpha)\).

Ответ: угол двугранный при ребре основания равен \(\arctan\left(2 \tan \alpha\right)\).

1. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием \(ABC\) и вершиной \(S\). Пусть угол между боковым ребром \(SA\) и плоскостью основания равен \(\alpha\).

2. Обозначим \(O\) — проекцию точки \(S\) на плоскость основания \(ABC\). Тогда \(SO\) — высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания.

3. По условию угол между \(SA\) и плоскостью основания равен \(\alpha\), значит угол между \(SA\) и \(SO\) равен \(\alpha\).

4. Рассмотрим треугольник \(SAO\). В нем \(SO \perp ABC\), и угол при вершине \(A\) равен \(90^\circ — \alpha\).

5. Поскольку основание \(ABC\) — правильный треугольник, угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\).

6. Двугранный угол при ребре \(AB\) — это угол между плоскостями \(SAB\) и \(ABC\). Он равен углу между нормалями этих плоскостей.

7. Нормаль к плоскости основания \(ABC\) перпендикулярна \(ABC\), обозначим её как \(\vec{n}_1\).

8. Нормаль к плоскости \(SAB\) можно выразить через векторы \(SA\) и \(AB\). Угол между нормалями равен двугранному углу \(\theta\).

9. Из геометрии следует формула для двугранного угла: \(\tan \theta = 2 \tan \alpha\).

10. Следовательно, двугранный угол при ребре основания равен \(\theta = \arctan \left( 2 \tan \alpha \right)\).