ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 21.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания.

Пусть \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — центр основания, \(B\) — вершина основания. Угол между боковой гранью и основанием равен \(\alpha\).

Боковое ребро \(SB\) образует с плоскостью основания угол \(\angle S B O\).

Используя свойства правильной четырёхугольной пирамиды, получаем формулу:

\(\angle S B O = \arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \right)\)

1. Пусть \(S\) — вершина правильной четырёхугольной пирамиды, \(ABCD\) — её квадратное основание, \(O\) — центр основания, \(B\) — вершина основания.

2. Двугранный угол при ребре основания, то есть угол между боковой гранью \(SBC\) и плоскостью основания \(ABCD\), равен \(\alpha\).

3. Нужно найти угол между боковым ребром \(SB\) и плоскостью основания, то есть \(\angle S B O\).

4. Рассмотрим треугольник \(S B O\). Точка \(O\) — центр квадрата, поэтому \(OB = \frac{a \sqrt{2}}{2}\), где \(a\) — сторона основания.

5. Высота пирамиды \(SO\) связана с углом \(\alpha\) двугранного угла: \(\tan \alpha = \frac{SO}{h}\), где \(h\) — проекция бокового ребра на основание.

6. Проекция бокового ребра \(SB\) на плоскость основания лежит на отрезке \(OB\).

7. В треугольнике \(S B O\) угол при вершине \(B\) равен \(90^\circ\), так как \(OB\) — в плоскости основания, а \(SB\) — боковое ребро.

8. Тогда угол \(\angle S B O\) можно выразить через отношение катетов: \(\tan \angle S B O = \frac{SO}{OB}\).

9. Подставляя \(OB = \frac{a \sqrt{2}}{2}\) и выражая \(SO\) через \(\tan \alpha\), получаем \(\tan \angle S B O = \frac{\sqrt{2}}{2} \tan \alpha\).

10. Следовательно, искомый угол равен \(\angle S B O = \arctan \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \tan \alpha \right)\).