ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь боковой поверхности правильной усечённой шестиугольной пирамиды равна 540 см². Найдите стороны оснований пирамиды, если они относятся как 2 : 3, а апофема равна 9 см.

Дано: площадь боковой поверхности усечённой пирамиды \(S_{\text{бок. п.}} = 540 \text{ см}^2\), отношения сторон \(cd : cb = 2 : 3\).

Обозначим \(cd = 2x\), \(cb = 3x\).

Площадь боковой поверхности равна половине суммы периметров оснований, умноженной на высоту:

\(540 = \frac{1}{2} (6x + 9x) \cdot 10\),

где 6x и 9x — периметры нижнего и верхнего оснований соответственно, 10 — высота.

Упростим:

\(540 = \frac{1}{2} \cdot 15x \cdot 10 = 75x\),

откуда

\(x = \frac{540}{75} = 8\).

Следовательно,

\(cd = 2x = 16 \text{ см}\),

\(cb = 3x = 24 \text{ см}\).

Дано, что площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна \(540 \text{ см}^2\). Также известно, что отношение сторон \(cd\) и \(cb\) равно \(2:3\). Необходимо найти длины этих сторон. Обозначим неизвестную величину через \(x\), тогда \(cd = 2x\), а \(cb = 3x\). Это стандартный приём для работы с отношениями, позволяющий выразить обе величины через одну переменную.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычисляется по формуле, в которой участвует сумма периметров нижнего и верхнего оснований, умноженная на высоту и поделённая на 2. В условии задачи периметры оснований выражены через \(x\): периметр нижнего основания равен \(6x\), а верхнего — \(9x\). Высота усечённой пирамиды дана как \(10 \text{ см}\). Подставляя эти значения в формулу площади боковой поверхности, получаем уравнение \(540 = \frac{1}{2} (6x + 9x) \cdot 10\).

Далее упростим выражение: сумма периметров \(6x + 9x = 15x\), умножаем на высоту \(10\) и делим на 2, что даёт \(540 = \frac{1}{2} \cdot 15x \cdot 10 = 75x\). Решая уравнение относительно \(x\), получаем \(x = \frac{540}{75} = 8\). Теперь можно найти искомые длины сторон: \(cd = 2x = 16 \text{ см}\) и \(cb = 3x = 24 \text{ см}\).