ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равны 8 см и 6 см, а высота пирамиды \(3\sqrt{3}\) см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую AC и точку \(B_1\).

Сторона нижнего основания \(AB = 8\), сторона верхнего основания \(A_1B_1 = 6\), высота пирамиды \(SO = 3\sqrt{3}\).

Диагональ основания \(AC = 8\sqrt{2}\).

В треугольнике \(B_1OO_1\) по теореме Пифагора \(B_1O = \sqrt{3^2} = 3\).

Площадь сечения \(S_{B_1AC} = \frac{1}{2} \times AC \times B_1O = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times 3 = 12\sqrt{2}\).

Нижнее основание пирамиды — квадрат со стороной \(8\), поэтому диагональ \(AC\) равна \(8\sqrt{2}\), так как диагональ квадрата вычисляется по формуле \(AC = AB \sqrt{2}\). Верхнее основание — квадрат со стороной \(6\), а высота пирамиды равна \(3\sqrt{3}\). Точка \(B_1\) принадлежит верхнему основанию, и нам нужно найти площадь сечения, проходящего через \(AC\) и \(B_1\).

Рассмотрим расстояние от центра основания \(O\) до точки \(B_1\). Поскольку верхнее основание — квадрат со стороной \(6\), расстояние от центра до вершины равно половине стороны, то есть \(3\). Это расстояние лежит в плоскости верхнего основания. Высота пирамиды — это перпендикуляр от центра верхнего основания к центру нижнего основания, равный \(3\sqrt{3}\). Таким образом, точка \(B_1\) расположена на высоте \(3\sqrt{3}\) над нижним основанием и на расстоянии \(3\) от центра основания в горизонтальном направлении.

Площадь сечения, проходящего через \(AC\) и \(B_1\), равна площади треугольника с основанием \(AC = 8\sqrt{2}\) и высотой, равной расстоянию от точки \(B_1\) до линии \(AC\). Поскольку \(B_1\) находится на расстоянии \(3\) от центра основания и \(AC\) проходит через центр, высота треугольника равна \(3\). Тогда площадь сечения вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \times AC \times B_1O = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times 3 = 12\sqrt{2}\).