ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковое ребро \(BB_1\) усечённой пирамиды \(ABCA_1B_1C_1\) перпендикулярно плоскости основания, \(BB_1 = 4\) см, \(AB = BC = 16\) см, \(A_1B_1 = B_1C_1 = 10\) см, \(\angle ABC = 120^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Длина \(AC\) в основании \(ABC\) находится по теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ = 256 + 256 + 256 = 768\), значит \(AC = 16 \sqrt{3}\).

Длина \(A_1C_1\) в верхнем основании: \(A_1C_1^2 = 10^2 + 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 100 + 100 = 300\), значит \(A_1C_1 = 10 \sqrt{3}\).

Периметры оснований: \(P_1 = 16 + 16 + 16 \sqrt{3} = 32 + 16 \sqrt{3}\), \(P_2 = 10 + 10 + 10 \sqrt{3} = 20 + 10 \sqrt{3}\).

Площадь боковой поверхности: \(S = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot BB_1 = \frac{1}{2} (52 + 26 \sqrt{3}) \cdot 5 = 130 + 65 \sqrt{3}\).

В треугольнике \(ABC\) известны стороны \(AB = BC = 16\) и угол \( \angle ABC = 120^\circ \). Чтобы найти сторону \(AC\), применяем теорему косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\). Подставляем числа: \(AC^2 = 16^2 + 16^2 — 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos 120^\circ = 256 + 256 — 512 \cdot (-\frac{1}{2})=\)
\( = 512 + 256 = 768\). Значит, \(AC = \sqrt{768} = 16 \sqrt{3}\).

Аналогично для верхнего основания \(A_1B_1C_1\) с равными сторонами \(A_1B_1 = B_1C_1 = 10\) и тем же углом \(120^\circ\) находим сторону \(A_1C_1\). По теореме косинусов: \(A_1C_1^2 = 10^2 + 10^2 — 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 100 — 200 \cdot (-\frac{1}{2})=\)
\( = 200 + 100 = 300\). Отсюда \(A_1C_1 = 10 \sqrt{3}\).

Периметры оснований вычисляем как сумму сторон: нижнего \(P_1 = AB + BC + AC = 16 + 16 + 16 \sqrt{3} = 32 + 16 \sqrt{3}\), и верхнего \(P_2 = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 = 10 + 10 + 10 \sqrt{3} = 20 + 10 \sqrt{3}\). Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна \(S = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot BB_1\), где \(BB_1 = 5\) — высота бокового ребра. Подставляем: \(S = \frac{1}{2} (32 + 16 \sqrt{3} + 20 + 10 \sqrt{3}) \cdot 5 = \frac{1}{2} (52 + 26 \sqrt{3}) \cdot 5 = \frac{5}{2} (52 + 26 \sqrt{3})=\)
\( = 130 + 65 \sqrt{3}\).