ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна \(H\). Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а диагональ пирамиды — угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Высота \(H\) связана с боковым ребром \(l\) через угол \(\alpha\): \(l = \frac{H}{\sin \alpha}\).

Диагональ пирамиды образует угол \(\beta\) с основанием, значит, проекция диагонали равна \(l \cos \alpha\), а сама диагональ \(l \cos \alpha / \cos \beta\).

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на апофему. Апофема выражается через \(H\), \(\alpha\), \(\beta\).

Итоговая формула площади боковой поверхности:

\(S = 2 H^2 \cot \beta \sqrt{2 + \cot^2 \alpha}\).

1. Пусть \(l\) — длина бокового ребра пирамиды. Из условия, что боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), высота \(H\) связана с \(l\) формулой \(H = l \sin \alpha\), откуда \(l = \frac{H}{\sin \alpha}\). Это выражение показывает, как длина бокового ребра зависит от высоты и угла наклона к основанию.

2. Диагональ пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Если рассмотреть проекцию диагонали на основание, то она равна \(l \cos \alpha\), так как боковое ребро наклонено под углом \(\alpha\). С учётом угла \(\beta\), сама диагональ равна \( \frac{l \cos \alpha}{\cos \beta} \). Эта величина даёт связь между диагональю, боковым ребром и углами \(\alpha\) и \(\beta\).

3. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды вычисляется как произведение периметра основания на апофему. Апофема выражается через высоту \(H\) и углы \(\alpha\), \(\beta\). После подстановки и упрощений получается формула \(S = 2 H^{2} \cot \beta \sqrt{2 + \cot^{2} \alpha}\), где \(\cot\) — котангенс углов. Эта формула учитывает геометрические особенности пирамиды и углы наклона ребер и диагоналей.