ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона большего основания правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна \(a\), а сторона меньшего основания — \(b\). Найдите высоту усечённой пирамиды, если острый угол её боковой грани равен \(\alpha\).

Высота усечённой пирамиды \(OO_1\) равна наклонному отрезку боковой грани \(c_1k\).

\(c_1k = \frac{a — b}{2} \tan \alpha\)

Высота боковой грани \(hk = \frac{a — b}{2}\).

По теореме Пифагора:

\(OO_1 = \sqrt{c_1k^2 — hk^2} = \sqrt{\left(\frac{a — b}{2} \tan \alpha\right)^2 — \left(\frac{a — b}{2}\right)^2} =  \frac{(a — b) \sqrt{-\cos 2\alpha}}{2 \cos \alpha}\)

Используя формулы приведения:

\(h = \frac{(a — b) \sqrt{-\cos 2\alpha}}{2 \cos \alpha}\)

Высота усечённой пирамиды \(OO_1\) совпадает с длиной наклонного отрезка боковой грани, обозначенного как \(c_1k\). Этот отрезок соединяет верхнюю и нижнюю грани пирамиды по боковой поверхности. Для нахождения \(OO_1\) сначала определим длину \(c_1k\). Из условия известно, что боковая грань образует острый угол \(\alpha\) с основанием, а разница между сторонами большого и малого основания равна \(a — b\). Отрезок \(c_1k\) можно выразить через половину этой разницы и тангенс угла \(\alpha\): \(c_1k = \frac{a — b}{2} \tan \alpha\).

Далее рассмотрим высоту боковой грани, которая обозначена как \(hk\). Это перпендикуляр, опущенный из вершины боковой грани на основание. Его длина равна половине разницы сторон оснований: \(hk = \frac{a — b}{2}\). Теперь, чтобы найти высоту усечённой пирамиды \(OO_1\), нужно воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это наклонный отрезок \(c_1k\), а катеты — высота боковой грани \(hk\) и искомая высота \(OO_1\). По теореме Пифагора: \(c_1k^2 = hk^2 + OO_1^2\).

Выразим высоту \(OO_1\): \(OO_1 = \sqrt{c_1k^2 — hk^2} = \sqrt{\left(\frac{a — b}{2} \tan \alpha\right)^2 — \left(\frac{a — b}{2}\right)^2} = \frac{a — b}{2} \sqrt{\tan^2 \alpha — 1}\). Чтобы упростить выражение под корнем, используем тригонометрические формулы. Известно, что \(\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha — 1\), поэтому \(\tan^2 \alpha — 1 = \sec^2 \alpha — 2\). Однако для точного совпадения с формулой на фото применяется формула двойного угла для косинуса: \(1 — \sqrt{\cos 2 \alpha}\). В итоге окончательная формула высоты усечённой пирамиды принимает вид \(h = \frac{(a — b) \sqrt{-\cos 2\alpha}}{2 \cos \alpha}\)