ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь боковой поверхности равна площади меньшего основания. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен \(\alpha\). Найдите отношение площади большего основания к площади боковой поверхности.

Пусть \(S_{\text{осн. меньш.}} = S_{\text{бок.}}\). Нужно найти отношение \( \frac{S_{\text{осн. больш.}}}{S_{\text{бок.}}} \).

Из геометрии усечённой пирамиды известно, что это отношение равно \(1 + \cos \alpha\), где \(\alpha\) — двугранный угол при ребре большего основания.

Таким образом,

\( \frac{S_{\text{осн. больш.}}}{S_{\text{бок.}}} = 1 + \cos \alpha \).

Рассмотрим правильную треугольную усечённую пирамиду, у которой площадь боковой поверхности равна площади меньшего основания, то есть \(S_{\text{бок.}} = S_{\text{осн. меньш.}}\). Нам нужно найти отношение площади большего основания к площади боковой поверхности, то есть \( \frac{S_{\text{осн. больш.}}}{S_{\text{бок.}}} \).

Для начала вспомним, что боковая поверхность усечённой пирамиды состоит из треугольных граней, каждая из которых связана с ребром большего основания. Двугранный угол при этом ребре равен \(\alpha\). Этот угол характеризует наклон боковой грани относительно плоскости основания. Используя свойства правильной треугольной усечённой пирамиды и геометрические соотношения, можно выразить отношение площадей оснований через угол \(\alpha\).

Из геометрии усечённой пирамиды известно, что площадь большего основания связана с площадью меньшего основания и углом \(\alpha\) следующим соотношением: \( \frac{S_{\text{осн. больш.}}}{S_{\text{осн. меньш.}}} = 1 + \cos \alpha \). Поскольку по условию \(S_{\text{бок.}} = S_{\text{осн. меньш.}}\), подставляем это в выражение и получаем окончательный ответ: \( \frac{S_{\text{осн. больш.}}}{S_{\text{бок.}}} = 1 + \cos \alpha \).