ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь боковой поверхности равна площади большего основания и в два раза больше площади меньшего основания. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре её большего основания.

Дано: \( S_{\text{бок}} = S_{\text{больш}} \), \( S_{\text{бок}} = 2 S_{\text{меньш}} \).

Отсюда \( S_{\text{больш}} = 2 S_{\text{меньш}} \).

В правильной треугольной усечённой пирамиде двугранный угол при ребре большего основания связан с косинусом угла:

\( \cos \alpha = \frac{1}{2} \).

Следовательно,

\( \alpha = 60^\circ \).

В правильной треугольной усечённой пирамиде даны площади: площадь боковой поверхности равна площади большего основания, то есть \( S_{\text{бок}} = S_{\text{больш}} \), и площадь боковой поверхности в два раза больше площади меньшего основания, то есть \( S_{\text{бок}} = 2 S_{\text{меньш}} \). Из этих равенств следует, что площадь большего основания в два раза больше площади меньшего основания, то есть \( S_{\text{больш}} = 2 S_{\text{меньш}} \).

Поскольку основания правильные треугольники, отношение их площадей связано с квадратом отношения сторон. Если обозначить сторону большего основания за \( a \), а сторону меньшего основания за \( b \), то \( \frac{S_{\text{больш}}}{S_{\text{меньш}}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \div \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2}{b^2} \). Из условия \( \frac{S_{\text{больш}}}{S_{\text{меньш}}} = 2 \) следует, что \( \frac{a^2}{b^2} = 2 \), то есть \( \frac{a}{b} = \sqrt{2} \).

Двугранный угол при ребре большего основания равен углу между боковой гранью и основанием. В правильной треугольной усечённой пирамиде этот угол можно найти через косинус, который равен половине, то есть \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \). Отсюда следует, что \( \alpha = 60^\circ \).