ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) угол между плоскостями \(BDD_1\) и \(CDB_1\) равен \(\alpha\). Найдите отношение площадей четырёхугольников \(BB_1D_1D\) и \(DA_1B_1C\).

,В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) рассмотрим плоскости \( BDD_1 \) и \( CDB_1 \), между которыми угол равен \( \alpha \).

Четырёхугольник \( BB_1D_1D \) лежит в одной плоскости, а \( DA_1B_1C \) — в другой.

Отношение площадей этих четырёхугольников равно отношению проекций одной площади на другую, что даёт формулу

\( \frac{S_{BB_1D_1D}}{S_{DA_1B_1C}} = 2 \cos \alpha \).

Рассмотрим правильную четырёхугольную усечённую пирамиду \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). В ней основаниями являются квадраты, а боковые грани — трапеции. Плоскости \( BDD_1 \) и \( CDB_1 \) образуют угол \( \alpha \). Четырёхугольник \( BB_1D_1D \) лежит в плоскости \( BDD_1 \), а четырёхугольник \( DA_1B_1C \) — в плоскости, содержащей точки \( D, A_1, B_1, C \).

Площадь четырёхугольника \( BB_1D_1D \) связана с площадью \( DA_1B_1C \) через угол между плоскостями, поскольку эти фигуры проецируются друг на друга. Если обозначить площадь \( DA_1B_1C \) как \( S_1 \), а площадь \( BB_1D_1D \) как \( S_2 \), то \( S_2 \) равна удвоенной проекции \( S_1 \) на плоскость \( BDD_1 \), умноженной на косинус угла между плоскостями.

Таким образом, отношение площадей выражается формулой \( \frac{S_2}{S_1} = 2 \cos \alpha \). Здесь коэффициент 2 появляется из-за особенностей построения усечённой пирамиды и взаимного расположения точек, а косинус угла \( \alpha \) отражает влияние наклона плоскостей на площадь проекции.