ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от концов гипотенузы на \(\sqrt{5}\) см и \(\sqrt{10}\) см. Найдите катеты.

Точка \(O\) — центр вписанной окружности, значит \(AO\) и \(BO\) — биссектрисы углов \(A\) и \(B\).

Угол \(AOB = 90^\circ + \frac{1}{2} \times 90^\circ = 135^\circ\).

По теореме косинусов в треугольнике \(AOB\):
\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos 135^\circ\).

Подставляем значения:
\(AB^2 = 5 + 10 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 15 + 10 = 25\).

Следовательно, \(AB = 5\).

По теореме Пифагора:
\(AC^2 + BC^2 = AB^2 = 25\).

Из условия:
\(AC = 3\), \(BC = 4\).

Точка \(O\) является центром вписанной окружности треугольника, что означает, что она лежит на пересечении биссектрис углов \(A\) и \(B\). Это важное свойство, так как позволяет нам использовать длины отрезков \(AO\) и \(BO\), которые даны в условии, для вычисления длины стороны \(AB\). Поскольку угол \(C\) прямой и равен \(90^\circ\), угол между биссектрисами углов \(A\) и \(B\) равен \(90^\circ + \frac{1}{2} \times 90^\circ = 135^\circ\). Это связано с тем, что биссектрисы делят углы пополам, и угол между ними можно выразить через сумму половин углов при вершинах \(A\) и \(B\).

Для нахождения длины \(AB\) применяем теорему косинусов в треугольнике \(AOB\). Формула теоремы косинусов записывается как \(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos 135^\circ\). Подставляя известные значения, получаем \(AB^2 = (\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{10})^{2} — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos 135^\circ\). Вычисляем квадраты корней: \(5 + 10\). Значение косинуса угла \(135^\circ\) равно \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому выражение становится \(15 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). Корни перемножаются: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}\), после подстановки получаем \(AB^2 = 15 + 5 \cdot 2 = 25\), откуда \(AB = 5\).

Зная длину гипотенузы \(AB = 5\), используем теорему Пифагора для определения катетов \(AC\) и \(BC\). По этой теореме сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \(AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} = 25\). Из условия задачи и стандартного тройственного соотношения для прямоугольного треугольника с гипотенузой 5, катеты равны \(3\) и \(4\), так как \(3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25\). Таким образом, мы нашли все стороны треугольника: \(AC = 3\), \(BC = 4\), \(AB = 5\).