ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) в отношении \(BD : DC = 2 : 1\). В каком отношении, считая от вершины \(A\), медиана \(CE\) делит эту биссектрису?

В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) на стороне \(BC\) делит её в отношении \(BD : DC = 2 : 1\). Пусть длина \(BC = 3x\), тогда \(BD = 2x\), \(DC = x\).

Точка \(E\) — середина \(AB\), значит \(E = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\), где \(A = (a,b)\), \(B = (0,0)\), \(C = (3x,0)\), \(D = (2x,0)\).

Параметрически биссектриса \(AD\): \(M = (a + t(2x — a), b(1 — t))\).

Параметрически медиана \(CE\): \(M = (3x + s(\frac{a}{2} — 3x), s \frac{b}{2})\).

Из равенства координат по \(y\): \(b(1 — t) = s \frac{b}{2}\), откуда \(s = 2(1 — t)\).

Подставляя в уравнение по \(x\), получаем \(t = \frac{3}{4}\).

Отношение деления биссектрисы медианой: \(AM : MD = t : (1 — t) = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3 : 1\).

В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на стороне \(BC\) и делит её в отношении \(BD : DC = 2 : 1\). Это значит, что если длина отрезка \(BC\) принять за \(3x\), то отрезок \(BD\) будет равен \(2x\), а отрезок \(DC\) — \(x\). Таким образом, координаты точек на оси \(x\), если \(B\) взять в начале координат, будут \(B = (0,0)\), \(C = (3x,0)\), а \(D = (2x,0)\).

Точка \(E\) — середина стороны \(AB\), следовательно, её координаты можно выразить как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\). Если \(A = (a,b)\), то \(E = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{b+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\). Медиана \(CE\) соединяет точку \(C\) с серединой \(E\), а биссектриса \(AD\) соединяет вершину \(A\) с точкой \(D\) на стороне \(BC\).

Для нахождения точки пересечения медианы \(CE\) и биссектрисы \(AD\) параметризуем обе прямые. Точка \(M\) на биссектрисе \(AD\) задаётся как \(M = (a + t(2x — a), b(1 — t))\), где \(t\) — параметр от 0 до 1. Точка \(M\) на медиане \(CE\) задаётся как \(M = \left(3x + s\left(\frac{a}{2} — 3x\right), s \frac{b}{2}\right)\), где \(s\) — параметр от 0 до 1. Приравнивая координаты \(x\) и \(y\) для точки \(M\), получаем систему уравнений:

\(a + t(2x — a) = 3x + s\left(\frac{a}{2} — 3x\right)\),
\(b(1 — t) = s \frac{b}{2}\).

Из второго уравнения при \(b \neq 0\) следует \(1 — t = \frac{s}{2}\), откуда \(s = 2(1 — t)\). Подставляя это значение в первое уравнение и упрощая, получаем уравнение относительно \(t\):
\(a + t(2x — a) = 3x + 2(1 — t)\left(\frac{a}{2} — 3x\right)\).
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим \(t = \frac{3}{4}\).

Это означает, что точка пересечения медианы \(CE\) и биссектрисы \(AD\) делит биссектрису в отношении \(AM : MD = t : (1 — t) = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3 : 1\), считая от вершины \(A\).