ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите апофему правильной усечённой пятиугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 10 см, а площадь боковой поверхности — 280 см².

Дано: правильная усечённая пятиугольная пирамида со сторонами оснований 6 см и 10 см, площадь боковой поверхности 280 см2.

Периметры оснований: \(P_1 = 5 \times 6 = 30\), \(P_2 = 5 \times 10 = 50\).

Формула площади боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot m\), где \(m\) — апофема.

Подставляем данные: \(280 = \frac{1}{2} (30 + 50) \cdot m\).

Вычисляем: \(280 = 40m\), отсюда \(m = \frac{280}{40} = 7\) см.

Ответ: \(m = 7\) см.

У нас есть правильная усечённая пирамида с пятиугольными основаниями. Малое основание — правильный пятиугольник со стороной 6 см, а большое основание — правильный пятиугольник со стороной 10 см. Чтобы найти апофему \(m\), которая является высотой боковой грани, сначала нужно определить периметры обоих оснований. Поскольку пятиугольник имеет 5 равных сторон, периметр малого основания равен \(P_1 = 5 \times 6 = 30\) см, а большого основания — \(P_2 = 5 \times 10 = 50\) см.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot m\), где \(m\) — апофема. В этой формуле учитывается, что боковые грани пирамиды — равнобедренные треугольники, и площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих треугольников. Суммируя периметры оснований, мы учитываем длину всех боковых ребер, а умножение на апофему даёт площадь боковой поверхности.

Подставляем известные значения в формулу: \(280 = \frac{1}{2} (30 + 50) \cdot m\). Сначала складываем периметры: \(30 + 50 = 80\). Далее выражение становится \(280 = \frac{1}{2} \times 80 \times m\), что упрощается до \(280 = 40m\). Чтобы найти апофему, делим обе части уравнения на 40: \(m = \frac{280}{40} = 7\) см. Таким образом, апофема боковой поверхности правильной усечённой пятиугольной пирамиды равна 7 см.