ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 12 см и 18 см, а двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Стороны оснований правильного треугольника \(a_1 = 12\), \(a_2 = 18\). Периметры оснований \(P_1 = 3 \times 12 = 36\), \(P_2 = 3 \times 18 = 54\).

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l\), где \(l\) — апофема.

Из условия и рисунка \(l = \sqrt{6}\).

Подставляем: \(S = \frac{1}{2} (36 + 54) \sqrt{6} = \frac{1}{2} \times 90 \times \sqrt{6} = 45 \sqrt{6}\) см².

Для правильной треугольной усечённой пирамиды стороны оснований равны \(a_1 = 12\) см и \(a_2 = 18\) см. Поскольку основания правильные треугольники, периметры вычисляются как \(P_1 = 3 \times 12 = 36\) см и \(P_2 = 3 \times 18 = 54\) см. Эти периметры необходимы для нахождения площади боковой поверхности, так как боковые грани образуют трапеции с основаниями равными сторонам треугольников.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды определяется формулой \(S = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l\), где \(l\) — апофема, то есть наклонная высота боковой грани. Апофема связана с высотой боковой грани и двугранным углом при ребре большего основания. В данном случае двугранный угол равен \(45^\circ\), что позволяет найти апофему через геометрические построения и тригонометрию. По условию и рисунку апофема равна \(l = \sqrt{6}\).

Подставляя значения в формулу, получаем \(S = \frac{1}{2} (36 + 54) \sqrt{6} = \frac{1}{2} \times 90 \times \sqrt{6} = 45 \sqrt{6}\). Это и есть площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды с заданными параметрами.