ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 24 см и 30 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите высоту пирамиды.

Даны стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды \(a=30\) см и \(b=24\) см, боковое ребро \(l=4\) см.

Радиусы описанных окружностей оснований равны \(R_1=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\) и \(R_2=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\).

Разница радиусов \(d=R_1-R_2=2\sqrt{3}\).

По теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой \(l\), катетами \(h\) и \(d\) высота равна \(h=\sqrt{l^2-d^2}=\sqrt{16-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16-12}=2\) см.

Ответ: высота равна 2 см.

Дана правильная треугольная усечённая пирамида с нижним основанием со стороной \(a=30\) см и верхним основанием со стороной \(b=24\) см. Боковое ребро равно \(l=4\) см. Чтобы найти высоту \(h\) этой пирамиды, необходимо рассмотреть геометрические свойства правильных треугольников и усечённой пирамиды.

Рассмотрим радиусы описанных окружностей для каждого основания. Для правильного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле \(R=\frac{s}{\sqrt{3}}\), где \(s\) — сторона треугольника. Для нижнего основания с длиной стороны \(a=30\) см радиус будет равен \(R_1=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\). Для верхнего основания с длиной стороны \(b=24\) см радиус равен \(R_2=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\). Эти радиусы показывают расстояния от центров оснований до их вершин.

Высота пирамиды \(h\) связана с боковым ребром \(l\) и разницей радиусов оснований \(d=R_1-R_2=2\sqrt{3}\). Боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором один катет — высота \(h\), а другой — разница радиусов \(d\). По теореме Пифагора имеем \(l^2 = h^2 + d^2\), откуда высота равна \(h = \sqrt{l^2 — d^2} = \sqrt{4^2 — (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 — 12} = 2\) см.

Таким образом, высота правильной треугольной усечённой пирамиды при заданных размерах равна 2 см.