ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 22.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 6 см и 12 см, а площадь боковой поверхности — 54 см². Найдите высоту пирамиды.

Стороны оснований \(a=6\) см, \(b=12\) см, площадь боковой поверхности \(S=54\) см².

Площадь боковой поверхности: \(S = \frac{3}{2} (a+b) l\), где \(l\) — апофема.

Подставляем: \(54 = \frac{3}{2} (6+12) l = 27 l\).

Отсюда \(l = \frac{54}{27} = 2\) см.

Радиусы вписанных окружностей: \(r_1 = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\), \(r_2 = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3}\).

Разность радиусов: \(r_2 — r_1 = \sqrt{3}\).

Связь апофемы, высоты и разности радиусов: \(l^2 = h^2 + (r_2 — r_1)^2\).

Подставляем: \(2^2 = h^2 + (\sqrt{3})^2\), то есть \(4 = h^2 + 3\).

Получаем \(h^2 = 1\), значит \(h = 1\) см.

Дано: стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды \(a = 6\) см и \(b = 12\) см, площадь боковой поверхности \(S = 54\) см². Нужно найти высоту \(h\) пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды равна сумме площадей треугольников, образующих боковые грани. Каждая боковая грань — трапеция с основаниями равными сторонам \(a\) и \(b\) и высотой, равной апофеме \(l\). Поскольку основание — правильный треугольник, боковых граней три. Тогда площадь боковой поверхности можно выразить формулой \(S = \frac{3}{2} (a + b) l\), где \(l\) — апофема, то есть наклонная высота боковой поверхности. Подставляя данные, получаем \(54 = \frac{3}{2} (6 + 12) l = \frac{3}{2} \times 18 \times l = 27 l\). Отсюда \(l = \frac{54}{27} = 2\) см.

Апофема \(l\) связана с высотой пирамиды \(h\) и разностью радиусов вписанных окружностей верхнего и нижнего оснований. Радиус вписанной окружности правильного треугольника вычисляется по формуле \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Для нижнего основания \(r_1 = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\) см, для верхнего \(r_2 = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3}\) см. Разность радиусов равна \(r_2 — r_1 = 2 \sqrt{3} — \sqrt{3} = \sqrt{3}\) см.

Апофема, высота и разность радиусов связаны прямоугольным треугольником, где гипотенуза — апофема \(l\), а катеты — высота \(h\) и разность радиусов \(r_2 — r_1\). Значит, по теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + (r_2 — r_1)^2\). Подставляя известные значения, получаем \(2^2 = h^2 + (\sqrt{3})^2\), то есть \(4 = h^2 + 3\). Решая уравнение, находим \(h^2 = 1\), откуда высота пирамиды \(h = 1\) см.