ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром.

В правильной треугольной пирамиде все ребра основания равны, а все боковые ребра равны между собой.

Высоты пирамиды — это перпендикуляры, опущенные из вершины на плоскости противоположных граней.

Так как основание — правильный треугольник, высоты основания пересекаются в одной точке — ортоцентре основания.

Высоты боковых граней также пересекаются в одной точке, совпадающей с общим пересечением высот пирамиды.

Следовательно, все высоты пирамиды пересекаются в одной точке.

Значит, правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром.

В правильной треугольной пирамиде основание представляет собой правильный треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 60°. Это означает, что высоты основания, проведённые из каждой вершины к противоположной стороне, пересекаются в одной точке — ортоцентре основания. Обозначим эту точку как \(H\). Поскольку основание правильное, точка \(H\) также является центром вписанной и описанной окружностей основания.

Высоты пирамиды — это перпендикуляры, опущенные из вершины пирамиды на плоскости противоположных граней. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны, а боковые грани — равнобедренные треугольники. Высоты этих граней пересекаются в точках, лежащих на ребрах основания, и при этом все эти высоты пересекаются в одной общей точке, которая совпадает с ортоцентром основания \(H\). Таким образом, высоты всех граней пересекаются в одной точке.

Из этого следует, что высоты всей правильной треугольной пирамиды пересекаются в одной точке, которая является ортоцентром тетраэдра. Следовательно, правильная треугольная пирамида является ортоцентрическим тетраэдром, так как все её высоты пересекаются в одной точке.