ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в равногранном тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны.

В равногранном тетраэдре все двугранные углы равны.

Это значит, что углы между плоскостями при каждом ребре одинаковы.

Из равенства двугранных углов следует, что скрещивающиеся ребра, лежащие в этих плоскостях, равны по длине.

Следовательно, в равногранном тетраэдре скрещивающиеся ребра равны.

В равногранном тетраэдре все двугранные углы при ребрах равны, то есть углы между плоскостями, которые образуют каждое ребро, одинаковы. Это означает, что если рассмотреть любое ребро, то угол между двумя гранями, которые его содержат, будет равен соответствующему двугранному углу при любом другом ребре. Такая равенство двугранных углов накладывает строгие геометрические ограничения на форму тетраэдра.

Рассмотрим пару скрещивающихся ребер — это ребра, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Из равенства двугранных углов следует, что углы между плоскостями, содержащими эти ребра, равны. Если обозначить длины этих ребер как \(a\) и \(b\), а угол между плоскостями как \(\alpha\), то из геометрии трехмерного пространства следует, что при равенстве углов \(\alpha\) и одинаковом расположении граней длины ребер \(a\) и \(b\) тоже должны быть равны, то есть \(a = b\).

Таким образом, равенство двугранных углов приводит к тому, что скрещивающиеся ребра равны по длине. Это связано с тем, что двугранный угол задает фиксированное соотношение между плоскостями, а следовательно, и между ребрами, которые в этих плоскостях расположены. Поэтому в равногранном тетраэдре скрещивающиеся ребра попарно равны.