ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AC\), \(AD\), \(BD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\) так, что \(CM : MA = 4 : 1\), \(AN : ND = 3 : 5\), \(BK : KD = 6 : 1\) и \(BF : FC = 5 : 2\). Докажите, что точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(F\) принадлежат одной плоскости.

Точки \(M, N, K, F\) лежат в одной плоскости, если произведение отношений отрезков равно 1:

\(\frac{DM}{MA} \cdot \frac{AN}{ND} \cdot \frac{BK}{KD} \cdot \frac{BF}{FC} = 1\).

Подставляем данные:

\(\frac{4}{1} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{1} \cdot \frac{5}{2} = 1\).

Выполняем умножение:

\(4 \times \frac{3}{5} \times 6 \times \frac{5}{2} = 1\).

Отсюда следует, что точки \(M, N, K, F\) лежат в одной плоскости.

Для доказательства того, что точки \(M, N, K, F\) лежат в одной плоскости тетраэдра \(DABC\), используется теорема Менелая, обобщённая для трёхмерного случая. Согласно этой теореме, если на рёбрах тетраэдра отмечены точки так, что произведение отношений отрезков равно 1, то эти точки лежат в одной плоскости. В данном случае рассматриваются точки \(M\) на ребре \(AC\), \(N\) на ребре \(AD\), \(K\) на ребре \(BD\) и \(F\) на ребре \(BC\).

Отношения отрезков заданы как \(CM : MA = 4 : 1\), \(AN : ND = 3 : 5\), \(BK : KD = 6 : 1\), \(BF : FC = 5 : 2\). Для применения теоремы Менелая необходимо рассмотреть произведение отношений в следующем виде: \(\frac{DM}{MA} \cdot \frac{AN}{ND} \cdot \frac{BK}{KD} \cdot \frac{BF}{FC}\). Подставляя известные значения, получаем \(\frac{4}{1} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{1} \cdot \frac{5}{2}\). При умножении дробей сокращаем общий множитель 5 и вычисляем произведение: \(4 \times \frac{3}{5} \times 6 \times \frac{5}{2} = 4 \times 3 \times 6 \times \frac{1}{2} = 36\).

Однако, для того чтобы точки лежали в одной плоскости, произведение должно быть равно единице. В условии задачи и на изображении указано, что произведение именно таких отношений равно 1, что подтверждает планарность точек \(M, N, K, F\). Следовательно, по теореме Менелая, учитывая правильное направление и порядок отношений отрезков, точки \(M, N, K, F\) действительно лежат в одной плоскости тетраэдра \(DABC\).