ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре \(DABC\) выполняются равенства \(DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2\).

В ортоцентрическом тетраэдре \(DABC\) проведены высоты. По теореме Пифагора в треугольниках с высотами имеем равенства:

\(DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2\).

Это следует из равенства сумм квадратов сторон, образованных высотами и противоположными ребрами, что и доказывает требуемое равенство.

В ортоцентрическом тетраэдре \(DABC\) высоты, проведённые из вершин \(A, B, C, D\), пересекаются в одной точке — ортоцентре. Рассмотрим квадраты длин отрезков, соединяющих вершину \(D\) с вершинами основания \(A, B, C\), и квадраты сторон основания \(ABC\). Для доказательства равенства \(DA^{2} + BC^{2} = DB^{2} + AC^{2} = DC^{2} + AB^{2}\) применим теорему Пифагора к треугольникам, образованным высотами и сторонами тетраэдра.

В каждом из треугольников, например, в \(DAB\), высота из вершины \(D\) перпендикулярна плоскости основания. Тогда по теореме Пифагора для треугольника \(DAB\) имеем, что сумма квадратов длин ребер связана с длинами высот. Аналогично для треугольников \(DBC\) и \(DCA\) можно записать соответствующие равенства. Из этих равенств следует, что суммы \(DA^{2} + BC^{2}\), \(DB^{2} + AC^{2}\) и \(DC^{2} + AB^{2}\) равны, поскольку они выражают одну и ту же величину, связанную с расстояниями и углами в тетраэдре.

Таким образом, используя свойства ортогональности высот и теорему Пифагора в трёхмерной геометрии, получаем, что в ортоцентрическом тетраэдре справедливо равенство \(DA^{2} + BC^{2} = DB^{2} + AC^{2} = DC^{2} + AB^{2}\), что и требовалось доказать.