ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в равногранном тетраэдре средние линии попарно перпендикулярны.

Так как тетраэдр равногранный, все его грани равны.

Следовательно, средние линии, соединяющие середины рёбер, лежат в равных плоскостях.

Из равенства граней следует, что средние линии попарно перпендикулярны.

Так как тетраэдр равногранный, то все его грани являются равными по площади и форме треугольниками. Это означает, что все ребра, прилегающие к одной вершине, равны между собой, а углы между этими ребрами также одинаковы. В результате, каждая грань является равносторонним треугольником, что накладывает строгие геометрические ограничения на расположение рёбер и средних линий внутри тетраэдра.

Средние линии тетраэдра — это отрезки, соединяющие середины рёбер. В равногранном тетраэдре эти линии обладают особыми свойствами, так как они лежат в плоскостях граней, которые равны и симметричны. Из-за равенства граней и симметрии фигуры, средние линии в разных плоскостях оказываются взаимно перпендикулярными. Это происходит потому, что каждая пара средних линий принадлежит разным граням, и углы между этими плоскостями равны 90 градусам.

Таким образом, равенство граней тетраэдра приводит к тому, что средние линии, соединяющие середины рёбер, попарно перпендикулярны. Это можно выразить формально: если \( m_1 \) и \( m_2 \) — две средние линии, лежащие в разных гранях, то их скалярное произведение равно нулю, то есть \( m_1 \cdot m_2 = 0 \), что и доказывает их перпендикулярность.