ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 23.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в равногранном тетраэдре средние линии перпендикулярны скрещивающимся рёбрам, середины которых они соединяют.

Равногранный тетраэдр описан около параллелепипеда, все грани которого — ромбы. Такой параллелепипед является прямоугольным.

Средние линии тетраэдра соединяют середины рёбер, которые являются скрещивающимися.

В прямоугольном параллелепипеде диагонали граней перпендикулярны, следовательно, средние линии, соединяющие середины скрещивающихся рёбер, также перпендикулярны этим рёбрам.

Равногранный тетраэдр можно описать около параллелепипеда, у которого все грани являются ромбами. Такой параллелепипед отличается тем, что его грани — параллелограммы с равными сторонами, а в случае равногранного тетраэдра этот параллелепипед оказывается прямоугольным, то есть все его углы прямые. Это ключевое свойство позволяет сделать выводы о взаимном расположении средних линий и рёбер.

Средние линии тетраэдра — это отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер. Поскольку параллелепипед прямоугольный, диагонали его граней перпендикулярны друг другу. В частности, если обозначить рёбра, середины которых соединяет средняя линия, как \(AB\) и \(CD\), то эти рёбра скрещиваются, и средняя линия соединяет точки \(M\) и \(N\), являющиеся серединами \(AB\) и \(CD\) соответственно. В прямоугольном параллелепипеде векторы рёбер \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) перпендикулярны, следовательно, вектор средней линии \( \overrightarrow{MN} \) также перпендикулярен этим рёбрам.

Таким образом, средние линии, соединяющие середины скрещивающихся рёбер, обязательно перпендикулярны этим рёбрам. Это свойство вытекает из прямоугольности параллелепипеда, описанного около равногранного тетраэдра, и из того, что все его грани — ромбы, что обеспечивает равенство и перпендикулярность соответствующих диагоналей.